Eksamen høsten 2025

Eksamen høsten 2025 var todelt med 2 timer på del 1 og 3 timer på del 2. Våren 2026 vil eksamen være todelt med 3 timer på del 1 og 2 timer på del 2.

Del 1 (Uten hjelpemidler – 2 timer)

Oppgave 1 (5 poeng)

a

Deriver funksjonen \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2 \]

Fasit

\[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Løsning

\[ f'(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3\right)' + \left(\sqrt{x}\right)' + (2)' = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

b

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x} \]

er kontinuerlig og deriverbar for alle \(x \in \real\).

Bestem \(g'(2)\) og \(g'(3)\).

Fasit

\[ g'(2) = \dfrac{1}{e^2} \qog g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} \]

Løsning

Vi skriver om uttrykket til

\[ g(x) = (2x - 3)e^{-x}. \]

Så bruker vi produktregelen for derivasjon:

\[\begin{split} \begin{align*} g'(x) &= (2x - 3)' \cdot e^{-x} + (2x - 3) \cdot (e^{-x})' \\ \\ &= 2e^{-x} + (2x - 3)(-e^{-x}) \\ \\ &= 2e^{-x} - (2x - 3)e^{-x} \\ \\ &= (2 - 2x + 3)e^{-x} \\ \\ &= (5 - 2x)e^{-x}. \end{align*} \end{split}\]

Så regner vi ut de verdiene:

\[ g'(2) = (5 - 2 \cdot 2)e^{-2} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \]

\[ g'(3) = (5 - 2 \cdot 3)e^{-3} = -e^{-3} = -\dfrac{1}{e^3} \]

c

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til \(g\) når \(x \in [2, 3]\)?

Fasit

Grafen til \(g\) har et ekstremalpunkt på intervallet \([2, 3]\).

Løsning

Siden \(g'(x)\) har motsatt fortegn i endepunktene, må \(g'(x) = 0\) for minst ett punkt \(x \in \langle 2, 3\rangle\). Det betyr at grafen til \(g\) har et ekstremalpunkt i intervallet \([2, 3]\).

---

Oppgave 2 (3 poeng)

a

Løs likningen

\[ \left(\lg x\right)^2 - 2 \lg x = 8 \]

Fasit

\[ x = 10^4 \or x = 10^{-2}. \]

Løsning

Vi setter \(u = \lg x\) slik at likningen kan skrives som

\[ u^2 - 2u = 8 \liff u^2 - 2u - 8 = 0. \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen som gir:

\[ u = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm 6}{2}. \]

Altså må

\[ u = 4 \or u = -2, \]

som vil si at

\[ \lg x = 4 \or \lg x = -2. \]

Det betyr at

\[ x = 10^4 \or x = 10^{-2}. \]

b

Bestem \(a\) slik at

\[ \log_a \dfrac{1}{64} = -3 \]

Fasit

\[ a = 4 \]

Løsning

Vi bruker definisjonen av logartimen med grunntall \(a\) som gir at

\[ \log_a \dfrac{1}{64} = -3 \liff \dfrac{1}{64} = a^{-3} \]

Dermed har vi at

\[ \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{1}{64} \liff a^3 = 64 \liff a = 4. \]

Altså er \(a = 4\).

---

Oppgave 3 (3 poeng)

a

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \]

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \pm \infty \]

Løsning

Vi prøver å sette inn \(x = -2\) i uttrykket:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2}{(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8} = \dfrac{4 + 8 + 2}{4 + 4 - 8} = \dfrac{14}{0}. \]

Dette forteller oss at grenseverdien går mot \(\pm \infty\) når \(x \to -2\), så grenseverdien eksisterer ikke.

b

1. Bestem \(a\) slik at grenseverdien eksisterer:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} \]

2. Bestem grenseverdien for denne verdien av \(a\).

Fasit

\[ a = 3 \and \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{1}{6}. \]

Løsning

For at grenseverdien skal eksistere, må vi for et \(\dfrac{0}{0}\)-uttrykk slik at vi kan bruke L’Hôpitals regel:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{4 - 2a + 2}{0} = \dfrac{6 - 2a}{0}. \]

Altså må vi kreve at

\[ 6 - 2a = 0 \liff a = 3. \]

Når \(a = 3\), kan vi bruke L’Hôpitals regel for å finne grenseverdien:

\[ \lim_{x\to -2} \dfrac{2x + a}{2x - 2} = \lim_{x\to -2} \dfrac{2x + 3}{2x - 2} = \dfrac{-4 + 3}{-4 - 2} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6}. \]

---

Oppgave 4 (6 poeng)

I et koordinatsystem har vi gitt punktene \(A(-2, 3)\) og \(B(3, 2)\).

a

Bestem lengden av linjestykket \(AB\).

Fasit

\[ AB = \sqrt{26}. \]

Løsning

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-2), 2 - 3] = [5, -1]. \]

Lengden av linjestykket \(AB\) er da

\[ AB = \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}. \]

b

Linja gjennom \(A\) og \(B\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \(C\).

Bestem koordinatene til \(C\).

Fasit

\(C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)\)

Løsning

Vi lager en vektorfunksjon \(\vec{r}(t)\) for linja. En retningsvektor for linja er

\[ \vec{v} = \lvec{AB} = [5, -1]. \]

Bruker vi \(\lvec{OA}\) som startpunkt, får vi

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + t \cdot \vec{v} = [-2, 3] + t \cdot [5, -1] = [-2 + 5t, 3 - t]. \]

Vi vet at punktet \(C\) ligger på \(x\)-aksen som betyr at \(x\)-komponenten til \(\vec{r}(t)\) må være lik \(0\):

\[ -2 + 5t = 0 \liff t = \dfrac{2}{5}. \]

Så setter vi denne verdien inn i \(y\)-komponenten for å finne \(y\)-verdien til \(C\):

\[ y = 3 - t = 3 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{13}{5}. \]

Altså er koordinatene til punktet \(C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)\).

c

Et punkt \(D\) er gitt ved \(D(2, t)\) der \(t \in \real\).

Bestem \(t\) slik at \(\angle ABD\) blir \(90\degree\).

Fasit

\[ t = -3. \]

Løsning

For at \(\angle ABD = 90\degree\), så må prikkproduktet

\[ \lvec{BA} \cdot \lvec{BD} = 0. \]

Vi har at

\[ \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [-5, 1] \]

og

\[ \lvec{BD} = \lvec{OD} - \lvec{OB} = [2 - 3, t - 2] = [-1, t - 2]. \]

Dermed krever vi at

\[ \lvec{BA} \cdot \lvec{BD} = 0 \liff [-5, 1] \cdot [-1, t - 2] = 0 \]

som gir

\[ 5 + t - 2 = 0 \liff t = -3. \]

Altså vil \(\angle ABD = 90\degree\) når \(t = -3\).

---

Oppgave 5 (4 poeng)

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 4x^2 \cdot \ln x \]

a

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Fasit

Bunnpunkt i \(\left(e^{-\frac{1}{2}}, -\dfrac{2}{e}\right)\).

Løsning

Vi løser \(f'(x) = 0\) for å finne kandidater til ekstremalpunkter:

\[ f'(x) = 8x \ln x + 4x = 4x(2 \ln x + 1) = 0. \]

Altså har vi at

\[ 4x = 0 \or 2 \ln x + 1 = 0 \liff x = 0 \or x = e^{-\frac{1}{2}}. \]

Vi tegner en fortegnslinje for \(f'(x)\) for å avgjøre om det er et topp- eller bunnpunkt:

Fra fortegnslinja til \(f'(x)\) ser vi at \(f'(x)\) skifter fra negativ til positiv i \(x = e^{-\frac{1}{2}}\), så det er et bunnpunkt i dette punktet. Vi må ekskludere \(x = 0\) fordi \(\ln x\) er ikke definert i dette punktet.

Vi finner \(y\)-koordinaten til det relevante punktet:

\[ f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \ln(e^{-\frac{1}{2}}) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e}. \]

Altså har grafen til \(f\) et bunnpunkt

\[ \left(e^{-\frac{1}{2}}, -\dfrac{2}{e}\right) \]

b

En elev jobber med funksjonen \(f\) og har skrevet programmet nedenfor:

from math import log    # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):
    return 4 * x**2 * log(x)

m = (a + b) / 2

while abs(f(m)) > maks_avvik:   # abs() finner absoluttverdi

    if f(a) * f(m) < 0:
        b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b) / 2

print(m)

Hva ønsker eleven å finne ut?

Forklar hva programmet gjør i linje 11 - 20.

Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet.

Løsning

Eleven ønsker å bestemme et nullpunkt til \(f\).

Fra linje 11 – 20, så starter eleven med et intervall \([a, b]\) og finner midtpunktet \(m = \dfrac{a + b}{2}\) på intervallet. Herfra kjører eleven følgende algoritme:

Så lenge \(|f(m)| > \mathrm{maks~avvik}\):

1. Sjekk om \(f(a) \cdot f(m) < 0\). Hvis dette er sant, så skifter \(f(x)\) fortegn på intervallet \([a, m]\) og må ha et nullpunkt der. Da settes \(b = m\) slik at vi nå har et nytt mindre intervall \([a, m]\) som inneholder nullpunktet.

2. Hvis den forrige sjekken ikke stemmer, så må nullpunktet ligge på intervallet \([m, b]\). Så da setter vi \(a = m\) slik at vi nå har et nytt mindre intervall \([m, b]\) som inneholder nullpunktet.

3. Regn ut et nytt midtpunkt \(m = \dfrac{a + b}{2}\) for det nye intervallet.

Dette gjentar frem til \(|f(m)| \leq \mathrm{maks~avvik}\), som betyr at \(m\) til slutt er en god tilnærming til et nullpunkt til \(f\) med en feilmargin på \(0.0001\).

Det som skrives ut av programmet vil da være en tilnærming til løsningen av

\[ f(x) = 0 \liff 4x^2 \ln x = 0 \liff x^2 = 0 \or \ln x = 0 \]

Den første likningen gir \(x = 0\) som ikke er gyldig siden \(\ln 0\) ikke er definert. Dermed har vi bare

\[ \ln x = 0 \liff x = e \]

Altså skriver programmet ut en tilnærming til \(x = e\).

Del 2 (Med hjelpemidler – 3 timer)

Oppgave 1 (6 poeng)

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden \(1960 – 1980\).

År	$1960$	$1961$	$1963$	$1965$	$1967$	$1971$	$1975$	$1977$	$1980$
Folketall	$500$	$604$	$852$	$1043$	$1510$	$2163$	$2544$	$2639$	$2715$

a

Denne oppgaven er ikke så relevant for halvdagsprøven. Ta gjerne funksjonsuttrykket fra fasiten og løs oppgave b og c.

Bruk informasjonen til å lage en modell \(F\) på formen

\[ F(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]

for antall personer \(F(t)\) som bodde på dette tettstedet \(t\) år etter \(1960\).

Vurder modellens gyldighetsområde.

Fasit

\[ F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5.1 \cdot e^{-0.25t}}. \]

Løsning

Vi legger dataen inn i et regneark i Geogebra og sørger for at \(x\)-verdiene er antall år etter \(1960\):

Så bruker vi og velger en logistisk modell:

Altså er en rimelig modell

\[ F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5.1 \cdot e^{-0.25t}}. \]

Modellen er gyldig så lenge den gir rimelig prediksjoner. Den forutsier at når \(t \to \infty\), så vil det bli ca. \(2841\) personer som bor på tettstedet. Dette forutsetter at innbyggertallet etter hvert ikke vil øke, som kanskje ikke er rimelig å anta.

For verdier lavere enn \(t = 0\), vil modellen raskt gi svært få innbyggere som gjør at modellen er urealistisk bare 10 år tidligere hvor \(F(-10) \approx 45\). Gitt at veksten av nye innbyggere blir lavere over tid, så vil modellen være rimelig så lenge \(t > 0\).

b

Bestem \(F'(12)\) og \(F''(12)\).

Gi en praktisk tolkning av svarene.

Fasit

• \(F'(12) \approx 115\) forteller oss at omtrent \(115\) nye innbygger kom til tettstedet i det 12. året etter \(1960\) (altså i \(1972\)).

• \(F''(12) \approx -17\) forteller oss at i det 12.året, så kom det omtrent \(17\) færre nye innbyggere enn i året før.

Løsning

Vi regner ut de to verdiene med CAS:

c

Når økte antall personer som bodde på tettstedet, med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?

Fasit

Ifølge modellen økte antall personer som bodde på tettstedet med mer enn \(150\) personer per år i løpet av året \(1963\) og i løpet av året \(1970\).

Løsning

For å finne ut når antall personer økte med mer enn \(150\) personer per år, løser likningen

\[ F(t) = 150 \]

Vi gjør dette med CAS:

Vi ser at det skjer to ganger:

• Først når \(t \approx 3.18\) som tilsvarer i løpet av året \(1963\).

• Så skjer det igjen når \(t \approx 9.85\) som tilsvarer i løpet året \(1970\).

---

Oppgave 2 (4 poeng)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq -2 \\ \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x, & -2 \lt x \lt k, \qder a,b,c \in \real \qog k \in \langle -2, \to \rangle \\ \\ c, & x \geq k \end{cases} \end{split}\]

a

Avgjør om \(f\) er kontinuerlig når \(x = -2\) dersom \(a = 2\) og \(b = -2\).

Fasit

\(f\) er ikke kontinuerlig i \(x = -2\) når \(a = 2\) og \(b = -2\).

Løsning

Vi lar

\[ p(x) = ax + b \qog q(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x \qog r(x) = c. \]

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = -2\), så må vi ha at

\[ p(-2) = q(-2). \]

Med \(a = 2\) og \(b = -2\) har vi at

\[ p(-2) = 2 \cdot (-2) - 2 = -6 \]

og

\[ q(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = -16 + 8 + 4 = -4. \]

Altså er ikke \(f\) kontinuerlig i \(x = -2\) når \(a = 2\) og \(b = -2\).

b

Bestem \(a\), \(b\), \(c\) og \(k\) slik at \(f\) er kontinuerlig og deriverbar når \(x = -2\) og når \(x = k\).

Fasit

Vi får to gyldige muligheter. Enten så må

\[ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 \]

eller

\[ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3}. \]

Løsning

For at \(f\) skal være kontinuerlig deriverbar i \(x = -2\) må vi kreve at

\[ p(-2) = q(-2) \and p'(-2) = q'(-2) \]

For at \(f\) skal være kontinuerlig deriverbar i \(x = k\) må vi kreve at

\[ q(k) = r(k) \and q'(k) = r'(k). \]

Vi bruker CAS til å løse likningssystemet for \(a\), \(b\), \(c\) og \(k\):

Vi får to gyldige muligheter. Enten så må

\[ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 \]

eller

\[ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3}. \]

---

Oppgave 3 (4 poeng)

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi \(c\). Denne luktverdien er gitt i lukenheter (odour units) per kubikkmeter (\(\mathrm{OU/m^3}\)).

Sammenhengen mellom \(c\) og luktintensiteten \(I\) er gitt ved

\[ I = 1.4 \lg c - 0.3 \]

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor:

Luktintensitet ($I$)	Vurdering
$\lt 1$	uproblematisk
$1 – 2$	akseptabelt
$2 – 3$	kan aksepteres kortvarig
$3 – 4$	plagsom lukt
$\gt 4$	plagsomt

a

Resultatet av prøvene viser luktverdien mellom \(500~\mathrm{OU/m^3}\) og \(1400~\mathrm{OU/m^3}\).

Har beboerne grunnlag for å klage?

Fasit

Ja.

Løsning

Vi regner ut \(I(c)\) for de to oppgitte verdiene med CAS:

Vi ser at luktintensiteten \(I \in [3.5, 4.1]\) som betyr at beboerne har grunnlag til å klage siden det havner innen for vurderingen “plagsom lukt, bør begrenses” og “plagsomt, tiltak kreves”.

b

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Fasit

\(c \in [8.5, 43.9]~\mathrm{OU/m^3}\)

Løsning

For at luktintensiten skal være vurdert som “akseptabel”, må

\[ I(c) \in [1, 2] \]

Vi løser likningene \(I(c) = 1\) og \(I(c) = 2\) i CAS for å finne nedre og øvre grense for luktverdiene \(c\):

Altså må biogassanlegget sikte på at \(c \in [8.5, 43.9]~\mathrm{OU/m^3}\) for at luktintensiteten skal være vurdert som “akseptabel”.

---

Oppgave 4 (6 poeng)

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet \(H(0, 300)\) og utsiktspunktet i \(U(1200, 400)\).

Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linja. Ina går med konstant fart.

a

Forklar at parameterframstillingen

\[\begin{split} I : \begin{cases} x = 1200s, & \\ & s \in [0, 1]\\ y = 300 + 100s, & \end{cases} \end{split}\]

gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

Løsning

Parameterframstillingen er bare en vektorfunksjon

\[ \vec{r}(s) = [1200s, 300 + 100s] = [0, 300] + [1200, 100] \cdot s. \]

Det første leddet gjenkjenner vi som startpunktet \(\lvec{OH} = [0, 300]\). Retningsvektoren \(\vec{v}\) til linja er gitt ved

\[ \vec{v} = \lvec{HU} = \lvec{OU} - \lvec{OH} = [1200, 400] - [0, 300] = [1200, 100]. \]

Altså er parameterframstillingen på formen

\[ \vec{r}(s) = \lvec{OH} + \vec{v} \cdot s \]

som stemmer overens med opplysningene i oppgaven. Vi kan også se at når \(s = 0\), så er \(\vec{r}(0) = [0, 300]\) som er punktet \(H\), og når \(s = 1\), så er \(\vec{r}(1) = [1200, 400]\) som er punktet \(U\). Dermed gir parameterframstillingen den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

b

Hele turen tar \(20\) minutter.

Bestem posisjonen til Ina etter \(5\) minutter.

Fasit

\[ (300, 325) \]

Løsning

Ina starter i punktet \(H(0, 300)\) og beveger seg med en konstant fartsvektor \(\vec{v} = [a, b]\) slik at hun etter \(20\) minutter er i punktet \(U(1200, 400)\). Altså må vi ha at

\[ [1200, 400] = [0, 300] + [a, b] \cdot 20 \liff [1200, 400] = [20a, 300 + 20b]. \]

Dermed er

\[ 20a = 1200 \liff a = 60 \]

og

\[ 300 + 2b = 400 \liff 20b = 100 \liff b = 5. \]

Dermed er fartsvektoren \(\vec{v} = [60, 5]\). Posisjonen til Ina etter \(t\) minutter er da

\[ \vec{r}_I(t) = [0, 300] + [60, 5] \cdot t = [60t, 300 + 5t]. \]

Etter \(5\) minutter er Ina i posisjonen

\[ \vec{r}_I(5) = [60 \cdot 5, 300 + 5 \cdot 5] = [300, 325]. \]

c

Regn ut farten til Ina. Gi svaret i \(\mathrm{m/s}\).

Fasit

\[ \abs{\vec{v}} \approx 1~\mathrm{m/s}. \]

Løsning

Fartsvektoren til Ina fant vi i oppgave b til å være

\[ \vec{v} = [60, 5] \]

Farten til Ina er da

\[ \abs{\vec{v}} = \sqrt{60^2 + 5^2} = \sqrt{5^2 \cdot 12^2 + 5^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{12^2 + 1} = 5 \sqrt{145}. \]

Denne farten er i meter per minutt. Vi har at \(1~\mathrm{min} = 60~\mathrm{s}\), så farten i \(\mathrm{m/s}\) er gitt ved

\[ \abs{\vec{v}} = \dfrac{5 \sqrt{145}}{60}~\mathrm{m/s} = \dfrac{\sqrt{145}}{12}~\mathrm{m/s} \approx \dfrac{\sqrt{144}}{12}~\mathrm{m/s} = 1~\mathrm{m/s}. \]

d

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon \(t\) minutter etter at han startet sin tur er gitt ved

\[\begin{split} j: \begin{cases} x = 520 - 20t \\ \\ y = 310 + 5t \end{cases} \end{split}\]

Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

Fasit

Ca. \(421\) meter.

Løsning

Vi har allerede en beskrivelse linja Ina går på. Den er gitt ved

\[ \vec{r}_I(s) = [60s, 300 + 5s], \]

der \(s\) er en parameter som ikke nødvendigvis er lik tiden \(t\) som den er for Jonas (vi vet ikke om de starter å gå samtidig eller ikke). Jonas sin posisjonen etter \(t\) minutter kan derimot om til en vektorfunksjon:

\[ \vec{r}_J(t) = [520 - 20t, 310 + 5t]. \]

Nå løser vi likningen \(\vec{r}_I(s) = \vec{r}_J(t)\) for å finne hvor de møtes. Vi gjør dette med CAS:

Så de to møtes i punktet \(P(420, 335)\). Ina har gått fra punktet \(H(0, 300)\) som betyr at hun har gått en avstand som tilsvarer lengden til linjestykket \(HP\). Vi regner det ut med CAS:

Altså har Ina gått nøyaktig \(35 \sqrt{145}\) meter som er ca. \(421\) meter.

---

Oppgave 5 (4 poeng)

For \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(\abs{\vec{a}} = 4\), \(\abs{\vec{b}} = 2 \sqrt{3}\) og vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(30 \degree\).

a

Gitt at \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\).

Regn ut den eksakte lengden til \(\vec{p}\).

Fasit

\[ \abs{\vec{p}} = 2 \sqrt{13} \]

Løsning

Skalarproduktet er uavhengig av koordinatsystemet vi bruker, så vi kan lage oss to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) som har egenskapene som er oppgitt. Lar vi \(\vec{a}\) ligge langs \(x\)-aksen, har vi

\[ \vec{a} = [4, 0] \qog \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot [\cos 30\degree, \sin 30\degree]. \]

Herfra kan vi bruke CAS til å gjøre resten av regningen:

Altså er den eksakte lengden til \(\vec{p}\) gitt ved

\[ \abs{\vec{p}} = 2 \sqrt{13} \]

b

Gitt at \(\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}\) der \(t \in \real\).

Bestem \(t\) slik at \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er ortogonale.

Fasit

\[ t = -\dfrac{6}{7} \]

Løsning

Vi bruker samme strategi som i oppgave a. For at de to vektorene skal være ortogonale, må prikkproduktet være lik \(0\):

\[ \vec{q} \cdot \vec{p} = 0 \]

Vi løser likningen med CAS:

Altså vil \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) være ortogonale dersom

\[ t = -\dfrac{6}{7} \]

---

Oppgave 6 (6 poeng)

Nedenfor ser du åtte grafer.

• En av grafene er grafen til en funksjon på formen \(f(x) = a^x\) der \(a\) er positivt helt tall.

• Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen \(f(x) = x^b - c\) der \(b\) og \(c\) er positive hele tall.

• Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

a

Sorter grafene i par.

De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte til funksjonen.

Fasit

• \(G'' = A\)

• \(E'' = H\)

• \(B'' = C\)

• \(F'' = D\)

Løsning

• Både graf \(A\) og graf \(B\) representerer eksponentialfunksjoner. Vi kan se at \(G(x) = a^x\) siden \(G(0) = 1\). Dermed må \(A(x) = G''(x) = a^x \cdot (\ln a)^2\).

• Graf \(B\) er en tredjegradsfunksjon som betyr at \(B''(x)\) må være en lineær funksjon. Da følger det at \(C(x) = B''(x)\).

• Graf \(F\) er en fjerdegradsfunksjon på formen \(F(x) = x^4 - c\), så \(F''(x)\) er en andregradsfunksjon som må gå gjennom origo. Derfor er \(D(x) = F''(x)\).

• Graf \(E\) viser en andregradsfunksjon \(E(x) = x^2 - c\), som betyr at \(E''(x) = 2\). Derfor må \(H(x) = E''(x)\).

b

Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafen til funksjoner som har en omvendt funksjon?

Fasit

\(A\), \(B\), \(C\) og \(G\) har omvendte funksjoner.

Løsning

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, holder her å sjekke hvilke funksjoner som er monotone. Graf \(A\), \(B\), \(C\) og \(G\) er strengt voksende og har dermed omvendte funksjoner.