Vektorregning

Vektorregning#

Læringsmål

  • Kunne bestemme vektorer og vektorer mellom punkter med CAS.

  • Kunne bestemme lengden av en vektor med CAS.

  • Kunne regne ut skalarproduktet mellom vektorer med CAS.

  • Kunne bestemme vinkelen mellom to vektorer med CAS.

Vektorer#

Eksempel 1

I gif-en nedenfor vises hvordan man

  1. definerer en vektor \(\vec{u}\) direkte.

  2. definerer en vektor \(\lvec{AB}\) mellom to punkter \(A\) og \(B\).

../../../_images/definere_vektorer.webp

Når vi skriver liten bokstav for navnet på vektoren, så får vi en søylevektor \(\mqty(3 \\ 2)\). Når vi gir vektoren et navn med store bokstaver, så får vi et punkt \((5, 3)\). Men dette er bare en visuell sak og regningen vil fungere likt uansett. Under overflaten behandler Geogebra de to likt.

Underveisoppgave 1

Bestem vektoren mellom punktene \(A(1, 2)\) og \(B(4, 6)\).

Bestem vektoren mellom punktene \(P(2, 3)\) og \(Q(5, 1)\).

Bestem vektoren mellom punktene \(M(1, 4)\) og \(N(3, 2)\).

Lengden av vektorer#

Eksempel 2

For å regne ut lengden av en vektor \(\vec{a}\), kan vi enten skrive |a| eller lengde(a) i CAS. I gif-en nedenfor viser vi hvordan:

../../../_images/lengde.webp

Underveisoppgave 2

Bestem lengden av vektorene

\[ \vec{a} = [3, 5] \qog \vec{b} = [-1, 3] \qog \vec{c} = [2, -7] \]

Bestem avstanden mellom punktene \(A(-3, 4)\) og \(B(2, -1)\).

Bestem omkretsen av trekanten \(\triangle PQR\) som har hjørnene

\[ P(1, 2), \qog Q(4, 6) \qog R(5, 3) \]

Skalarproduktet#

Eksempel 3

Vi regner ut skalarproduktet mellom to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) ved å skrive a * b i CAS. I gif-en nedenfor viser vi hvordan:

../../../_images/skalarprodukt.webp

Underveisoppgave 3

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{a} = [3, 5] \qog \vec{b} = [-1, 3] \]

Regn ut \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{u} = [2, -1] \qog \vec{v} = [4, 3] \]

Regn ut \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{p} = [1, 2] \qog \vec{q} = [5, 4] \]

Regn ut \(\vec{p} \cdot \vec{q}\).

Vinkelen mellom vektorer#

Eksempel 4

For å finne vinkelen mellom to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), bruker vi den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos(x\degree) \]

og så løser vi likningen for \(x\). I gif-en nedenfor viser vi hvordan:

../../../_images/vinkel.webp

  1. Vi passer på å avgrense vinkelen \(x \in [0, 180]\).

  2. Vi må skrive \(\cos (x\degree)\) slik at \(x\) blir i grader.

Underveisoppgave 4

Bestem vinkelen mellom vektorene

\[ \vec{a} = [3, 5] \qog \vec{b} = [-1, 3] \]

Bestem vinkelen mellom vektorene

\[ \vec{u} = [2, -1] \qog \vec{v} = [4, 3] \]

Bestem vinkelen mellom vektorene

\[ \vec{p} = [1, 2] \qog \vec{q} = [5, 4] \]