8. Derivasjon av elementærfunksjoner

Læringsmål

• Kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, rotfunksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner

• Kunne bestemme likningen til tangenter, og forklare sammenhengen mellom den deriverte og stigningstallet til tangenter.

Derivasjonsregler for elementærfunksjoner

Vi må memorisere derivasjonsreglene til en del elementærfunksjoner for at vi skal være i stand til å derivere mer kompliserte funksjoner senere. Derivasjonsreglene for elementærfunksjonene vi skal jobbe med er:

Derivasjonsreglene

Funksjon	Derivert	Eksempel
$f(x) = x^n$	$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$	$(x^3)' = 3x^2$
$f(x) = \sqrt{x}$	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$	$(e^x)' = e^x$
$f(x) = e^{kx}$	$f'(x) = k \cdot e^{kx}$	$(e^{3x})' = 3 \cdot e^{3x}$
$f(x) = \ln(ax)$	$f'(x) = \dfrac{1}{x}$	$(\ln(3x))' = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = a^x$	$f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$	$(3^x)' = 3^x \cdot \ln(3)$
$f(x) = \log_a(x)$	$f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln(a)}$	$(\log_2(x))' = \dfrac{1}{x \cdot \ln(2)}$

Vi må også få til å derivere summer og differanser av elementærfunksjoner. Regnereglene for dette er:

Derivasjonsregler for sum og differanser

Regel	Eksempel
$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$	$(x^3 + e^x)' = 3x^2 + e^x$
$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$	$(\sqrt{x} - \ln(3x))' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x}$
$a \cdot f(x)' = a \cdot f'(x)$	$(3 \cdot e^x)' = 3 \cdot e^x$

---

Underveisoppgave 1

Bestem den deriverte til funksjonene.

a

\[ f(x) = x^5 \]

b

\[ g(x) = 4\sqrt{x} \]

c

\[ h(x) = \ln(8x) \]

d

\[ p(x) = e^{-3x} \]

---

Underveisoppgave 2

Bestem den deriverte til funksjonene.

a

\[ f(x) = 3^x + 5x^2 \]

b

\[ g(x) = \ln(4x) - 2\sqrt{x} \]

c

\[ h(x) = 4e^{2x} + 7\log_3(x) \]

d

\[ p(x) = 5x^3 - 2e^{-x} + \ln(6x) \]

Likningen til tangenter

Den deriverte \(f'(a)\) til en funksjon \(f\) gir oss stigningstallet til en tangent i punktet \((a, f(a))\) på grafen til \(f\).

Ettpunktsformelen for en linje med stigningstall \(m\) som går gjennom punktet \((x_0, y_0)\) er gitt ved

\[ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \]

Siden tangenten går gjennom punkt \((a, f(a))\), så er \((x_0, y_0) = (a, f(a))\). Siden stigningstallet til tangenten er \(f'(a)\), så er \(m = f'(a)\). Setter vi inn dette i ettpunktsformelen får vi

\[ y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a) \]

Dette kan vi skrive om til

\[ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) \]

Likningen til en tangent

En tangent til grafen til \(f\) i punktet \((a, f(a))\) har likningen

\[ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) \]

---

Underveisoppgave 3

a

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x + 1 \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

b

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = e^{2x} \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(g\) i punktet \((0, g(0))\).

c

Funksjonen \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \ln(5x) \]

Bestem likningen til tangenten til grafen til \(h\) i punktet \((e, h(e))\).