Deriverbarhet

12. Deriverbarhet#

Læringsmål

  • Kunne bruke grenseverdier til å avgjøre om en funksjon er deriverbar i et punkt.

  • Kunne avgjøre om funksjoner med delt forskrift er deriverbare i bruddpunkter.

Deriverbarhet

En funksjon \(f\) er deriverbar i \(x = a\) hvis

  1. \(f\) er kontinuerlig i \(x = a\).

  2. Grenseverdien nedenfor eksisterer

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \]

Dersom grenseverdien eksisterer, må \(f\) være kontinuerlig i \(x = a\).

Grenseverdien eksisterer bare hvis

\[ \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \]

Eksempel 1

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x - 1}{x}, & x \neq 0 \\ \\ 1, & x = 0 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(f'(0)\).

Løsning

\[\begin{split} \begin{align*} f'(0) &= \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x} - 1}{x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} \\ \\ &= \frac{1}{2} \end{align*} \end{split}\]

Deriverbarhet: Hjelpesetning

La en funksjon \(f\) være kontinuerlig i \(x = a\) og la

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} g(x) \qfor x < a \\ \\ h(x) \qfor x \geq a \end{cases} \end{split}\]

Hvis \(g(x)\) er kontinuerlig og deriverbar i \(x = a\) og \(h(x)\) er kontinuerlig og deriverbar i \(x = a\), så er \(f\) deriverbar i \(x = a\) hvis og bare hvis

\[ g(a) = h(a) \and g'(a) = h'(a) \]

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} ax + b \qfor x < 0 \\ \\ x^2 + 2x + 1 \qfor x \geq 0 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at \(f\) er kontinuerlig og deriverbar i \(x = 0\).

Løsning

Vi lar

\[ g(x) = ax + b \qog h(x) = x^2 + 2x + 1. \]

Siden \(g\) og \(h\) er kontinuerlige og deriverbare i \(x = 0\), så vil \(f\) være kontinuerlig og deriverbar i \(x = 0\) dersom

\[ g(0) = h(0) \and g'(0) = h'(0) \]

Det første kriteriet gir at

\[ g(0) = b \and h(0) = 1 \liff b = 1 \]

Det andre kriteriet gir at

\[ g'(0) = a \and h'(0) = 2 \liff a = 2 \]

Altså er \(f\) kontinuerlig og deriverbar i \(x = 0\) hvis

\[ a = 2 \and b = 1 \]