Anvendelser av derivasjon

Innhold

9. Anvendelser av derivasjon#

Topp- og bunnpunkter#

Topp- og bunnpunkter

For å bestemme topp- og bunnpunkter til en funksjon \(f\), gjør vi følgende:

Vi bestemmer ekstremalpunktene \(x\) ved å løse likningen \(f'(x) = 0\).
For å avgjøre om et ekstremalpunkt \(x\) er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi bruke den andrederiverttesten:
- Hvis \(f''(x) > 0\), er punktet et bunnpunkt.
- Hvis \(f''(x) < 0\), er punktet et toppunkt.
- Hvis \(f''(x) = 0\), så kan vi ikke trekke noen konklusjon.

Oppgave 1

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter for \(f\) gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. \]

Fasit

Toppunkt i \((0, 4)\)
Bunnpunkt i \((2, 0)\)

Oppgave 2

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 e^{-x} \]

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunktene på grafen til \(f\).

Fasit

Bunnpunkt i \((0, 0)\) og toppunkt i \(\left(2, \dfrac{4}{e^2}\right)\).

Tangenter#

Tangenter

Tangenten til grafen til en funksjon \(f\) i et punkt \((a, f(a))\) er gitt ved likningen

\[ y = f(a) + f'(a) \cdot (x - a) \]

Oppgave 3

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 2 \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Fasit

\[ y = -9x + 6 \]

Oppgave 4

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \sqrt{x} \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((4, f(4))\).

Fasit

\[ y = \dfrac{1}{4}x + 1 \]

Oppgave 5

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \ln x \]

Bestem likningen for tangenten til \(f\) i punktet \((e, f(e))\).

Fasit

\[ y = \dfrac{1}{e}x \]

Vendepunkter og vendetangenter#

Vendepunktene til en funksjon \(f\)

Et vendepunkt er et punkt der \(f''(x)\) skifter fortegn. Vendepunktene er typisk punter på grafen til \(f\) der \(f''(x) = 0\). Det er punkter hvor grafen snur fra å være konkav til å bli konveks, eller omvendt. Se figuren nedenfor.

En vendetangent er en tangent til grafen i et vendepunkt.
Vendepunktene er punkter hvor grafen er brattest eller slakest (lokalt – opplagt er den mye brattere helt til venstre i figuren nedenfor).

Oppgave 6

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 8 \]

a

Bestem koordinatene til vendepunktet til \(f\).

Fasit

\[ (1, 6) \]

b

Bestem likningen til vendetangenten til \(f\).

Fasit

\[ y = -3x + 9 \]

Oppgave 7

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x e^x \]

a

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).

Fasit

\[ \left(-2, -\dfrac{2}{e^2}\right) \]

b

Bestem likningene til eventuelle vendetangenter til grafen til \(f\).

Fasit

\[ y = -\dfrac{1}{e^2}x - \dfrac{4}{e^2} \]

Oppgave 8

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x^2 + 1)e^{-x} \]

a

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter til \(f\).

Fasit

\[ \left(1, \dfrac{2}{e}\right) \qog \left(3, \dfrac{10}{e^3}\right) \]

b

Bestem likningene til vendetangentene til \(f\).

Fasit

Vendetangent i \((1, f(1))\) er gitt ved \(y = \dfrac{2}{e}\)
Vendetangent i \((3, f(3))\) er gitt ved \(y = \dfrac{10}{e^3} - \dfrac{4}{e^3}(x - 3)\)

Blandede oppgaver#

Oppgave 9

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (\ln x)^2 - 4 \ln x + 3 \]

a

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ x = e \or x = e^3 \]

b

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\).

Fasit

Bunnpunkt i \(\left(e^2 , -1\right)\).

Oppgave 10

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 1 - x^2 \qder D_f = [0, 1]. \]

La \(a \in \langle 0, 1 \rangle\) og la \(O\) være origo.

En tangent til grafen til \(f\) i punktet \(P(a, f(a))\) skjærer \(y\)-aksen i et punkt \(A\) og \(x\)-aksen i et punkt \(B\). Se figuren nedenfor.

a

Bestem koordinatene til punktet \(A\).

Fasit

\[ A = \left(0, a^2 + 1\right) \]

b

Bestem koordinatene til punktet \(B\).

Fasit

\[ B = \left(\dfrac{a^2 + 1}{2a}, 0\right) \]

c

Punktene \(O\), \(A\) og \(B\) danner en trekant \(\triangle OAB\).

Bestem det minste mulige arealet \(\triangle OAB\) kan ha.

Fasit

\[ A_\text{minst} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9} \]

Oppgave 11

Nedenfor vises tre figurer der en viser grafen til \(f\), en viser grafen til \(f'\) og en viser grafen til \(f''\).

Bestem hvilke.

Fasit

Figur C viser \(f\)
Figur B viser \(f'\)
Figur A viser \(f''\)

Oppgave 12

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -e^{2x} + 3e^x - 2 \]

Én av grafene nedenfor viser grafen til \(f\).

Avgjør hvilken graf som viser grafen til \(f\).

Fasit

Graf A viser grafen til \(f\).

Oppgave 13

For en funksjon \(f\) vises fortegnslinjen til \(f'(x)\).

Bestem hvilket ekstremalpunkt som er et bunnpunkt og hvilket som er et toppunkt.

Fasit

\(x = -e\) er et toppunkt og \(x = e\) er et bunnpunkt.

Oppgave 14

En funksjon \(f\) er kontinuerlig og dobbelt deriverbar for alle \(x \in \mathbb{R}\).

Nedenfor vises noen påstander. Avgjør om påstanden er sann og husk å argumentere for å svaret ditt.

a

Dersom \(f'(a) = 0\) og \(f''(a) > 0\), så har grafen til \(f\) et bunnpunkt i punktet \((a, f(a))\).

Fasit

Påstanden er sann.

b

Dersom \(f'(b) = 0\) og \(f''(b) = 0\), så har grafen til \(f\) et terrassepunkt i \((b, f(b))\).

Fasit

Påstanden er usann.

c

Dersom \(f\) har to ekstremalpunkter \(m_1, m_2 \in \langle a, b\rangle\), så finnes det minst ett punkt \(c \in \langle a, b \rangle\) slik at

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Fasit

Påstanden er sann.

Oppgave 15

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 - \ln x, \quad x > 0 \]

Et rektangel har hjørnene \((0, 0)\) og \((0, a)\) og \((a, f(a))\) og \((0, f(a))\).

Bestem \(a\) slik at arealet av rektangelet er størst mulig.

Fasit

\[ a = e \]