Numerisk derivasjon

11. Numerisk derivasjon#

Elementærfunksjoner i Python

Noen funksjoner vi jobber med i matematikk er ikke innebygd i Python fra før av og må importeres. I tabellen nedenfor vises en oversikt over ulike måter å skrive vanlige funksjoner i Python og hvordan de importeres så de kan brukes.

Funksjon i matematikk	I Python	Importer med
\(e^x\)	`exp(x)`	`from math import exp`
	`e**x`	`from math import e`
\(\ln x\)	`log(x)`	`from math import log`
\(\sqrt{x}\)	`sqrt(x)`	`from math import sqrt`
	`x**0.5`	(ingen import nødvendig)
\(\log_a x\)	`log(x, a)`	`from math import log`
	`log(x) / log(a)`	`from math import log`

Oppgave 1

a

Et program vises nedenfor.

Bestem verdien programmet skriver ut når det kjøres. Sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet.

b

Et program vises nedenfor.

Bestem verdien programmet skriver ut når det kjøres. Sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet.

Oppgave 2

a

Nedenfor vises et uferdig program som skal bestemme den deriverte til funksjonen

\[ f(x) = \sqrt{x + 1} \]

i punktet \(x = 3\).

Fullfør programmet slik at det fungerer som beskrevet.

b

Nedenfor vises et uferdig program som skal bestemme den deriverte til funksjonen

\[ g(x) = x\ln x \]

i punktet \(x = 5\).

Fullfør programmet og bestem \(g'(5)\).

c

Nedenfor vises et uferdig program som skal bestemme den deriverte til funksjonen

\[ p(x) = x e^{-x^2} \]

i punktet \(x = 1\).

Fullfør programmet og bestem \(p'(1)\).

Oppgave 3

I figuren til høyre vises grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = e^{-x^2 + x} \]

Nedenfor vises et program.

Hva er det programmet finner når det kjøres?
Bestem en eksakt verdi for det programmet skriver ut. Sjekk svaret ved å kjøre programmet!

Oppgave 4

I figuren til høyre vises grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = x \ln x^2 \]

Nedenfor vises et program.

a

Hva er det programmet finner når det kjøres?
Bestem en eksakt verdi for det programmet skriver ut. Sjekk svaret ved å kjøre programmet!

b

Gjør nødvendige endringer og bruk det til å bestemme koordinatene til toppunktet til \(f\).

Oppgave 5

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} & \qhvis x \neq 1 \qog x \geq 0 \\ \\ \dfrac{1}{2} & \qhvis x = 1 \end{cases} \end{split}\]

Bruk programmet nedenfor til å bestemme \(f'(1)\).