Oppgaver: Derivasjon og omvendte funksjoner

Oppgave 1

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^4 \qder D_f = \real. \]

1. Avgjør om \(f\) har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer.

Fasit

\(f\) har ikke en omvendt funksjon.

Løsning

Vi deriverer \(f\) for å avgjøre hvor grafen til \(f\) stiger og synker.

\[ f'(x) = 4x^3 \]

Vi løser \(f'(x) = 0\) for å finne eventuelle ekstremalpunkter:

\[ f'(x) = 0 \limplies 4x^3 = 0 \liff x = 0 \]

Vi kan tegne en fortegnslinje for \(f'(x)\):

Her kan vi se at grafen til \(f\) synker før \(x = 0\) og stiger etterpå. Dermed er ikke \(f\) monoton på hele sin definisjonsmengde, som betyr at \(f\) ikke har en omvendt funksjon.

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -x^3 + 1 \qder D_g = [-1, 1\rangle. \]

1. Avgjør om \(g\) har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer.

Fasit

1. \(g\) har en omvendt funksjon.

2. \(D_{g^{-1}} = \langle 0, 2]\).

Løsning

Vi deriverer \(g\) får å avgjøre hvor grafen til \(g\) stiger og synker:

\[ g'(x) = (-x^3 + 1)' = -3x^2 \]

Så løser vi \(g'(x) = 0\) for å undersøke om \(g\) har noen ekstremalpunkter:

\[ g'(x) = 0 \liff -3x^2 = 0 \liff x = 0 \]

Så tegner vi et fortegnsskjema for \(g'(x)\):

Vi kan se at grafen til \(g\) synker i hele sin definisjonsmengde, som betyr at \(g\) må ha en omvendt funksjon.

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, er lik verdimengden til \(g\). For å finne definisjonsmengden til den omvendte funksjonen holder det å regne ut funksjonsverdiene til \(g\) i endepunktene av definisjonsmengden til \(g\) (siden \(g\) alltid synker!):

\[ g(-1) = -(-1)^3 + 1 = 2 \]

Dette punktet er inkludert i verdimengden til \(g\) siden \(x = -1\) er inkludert i definisjonsmengden til \(g\).

\[ g(1) = -(1)^3 + 1 = 0 \]

Dette punktet er ikke inkludert i verdimengden til \(g\) siden \(x = 1\) ikke er inkludert i definisjonsmengden til \(g\). Dermed er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen gitt ved

\[ D_{g^{-1}} = \langle 0, 2]. \]

c

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^3 + 6x - 21 \qder D_h = \langle -2, 1\rangle. \]

1. Avgjør om \(h\) har en omvendt funksjon.

2. Bestem \(D_{h^{-1}}\) hvis den omvendte funksjonen eksisterer.

Fasit

1. \(h\) har en omvendt funksjon.

2. \(D_{h^{-1}} = \langle -41, -14\rangle\).

Løsning

Vi starter med å undersøke hvor \(h\) har eventuelle ekstremalpunkter:

\[ h'(x) = (x^3 + 6x - 21)' = 3x^2 + 6 \]

som gir

\[ h'(x) = 0 \liff 3x^2 + 6 = 0 \liff x^2 + 2 = 0 \]

Dette er det samme som

\[ x^2 = -2 \]

som ikke har noen løsning siden vi ikke kan opphøye et tall i \(2\) og få noe negativt. Dermed har ikke grafen til \(h\) noen ekstremalpunkter. I såfall må den alltid enten stige eller synke. Dermed vet vi at \(h\) har en omvendt funksjon.

Definisjonsmengden til \(h^{-1}\) er lik verdimengden til \(h\). For å finne denne regner vi ut funksjonsverdiene til \(h\) i endepunktene av definisjonsmengden til \(h\) (siden \(h\) enten alltid stiger eller alltid synker!):

\[ h(-2) = (-2)^3 + 6 \cdot (-2) - 21 = -8 - 12 - 21 = -41 \]

\[ h(1) = (1)^3 + 6 \cdot 1 - 21 = 1 + 6 - 21 = -14 \]

Ingen av punktene er inkludert i verdimengden til \(h\) siden ingen av endepunktene er inkludert i definisjonsmengden til \(h\). Dermed er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen gitt ved

\[ D_{h^{-1}} = \langle -41, -14\rangle. \]

d

En funksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = e^{-(x - 2)^2} \qder D_p = [2, \to\rangle. \]

1. Avgjør om \(p\) har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer.

Fasit

1. \(p\) har en omvendt funksjon.

2. \(D_{p^{-1}} = \langle 0, 1]\).

Løsning

Vi starter med å undersøke om grafen til \(p\) har noen ekstremalpunkter. Vi deriverer først ved å bruke kjerneregelen med \(u = -(x - 2)^2\) som kjerne:

\[\begin{split} \begin{align*} p'(x) &= \left(e^{-(x - 2)^2}\right)'\\ \\ &= e^{-(x - 2)^2} \cdot \left(-(x - 2)^2\right)' \\ \\ &= e^{-(x - 2)^2} \cdot (-2(x - 2)) \\ \\ &= -2(x - 2)e^{-(x - 2)^2} \end{align*} \end{split}\]

Så løser vi \(p'(x) = 0\):

\[ p'(x) = 0 \limplies -2(x - 2)e^{-(x - 2)^2} = 0 \]

som betyr at

\[ x - 2 = 0 \or e^{-(x - 2)^2} = 0 \]

Bare den første likiningen kan bli null, så da får vi at

\[ x = 2 \]

Punktet ligger akkurat på kanten av definisjonsmengden. Siden \(p\) ikke kan snu fra å stige til å synke eller omvendt uten å ha et ekstremalpunkt i mellom, så må \(p\) være monoton i hele sin definisjonsmengde. Dermed har \(p\) en omvendt funksjon.

Definisjonsmengden til \(p^{-1}\) er lik verdimengden til \(p\). Vi bestemmer denne ved å regne ut funksjonsverdiene til \(p\) i endepunktene av definisjonsmengden til \(p\) (siden \(p\) enten alltid stiger eller alltid synker!):

\[ p(2) = e^{-(2 - 2)^2} = e^0 = 1 \]

Dette punktet er inkludert i verdimengden til \(p\) siden \(x = 2\) er inkludert i definisjonsmengden til \(p\).

Siden vi ikke har et endepunkt på andre siden, men \(x \to \infty\), så må vi sjekke hva som skjer med \(p(x)\) når \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} p(x) = \lim_{x \to \infty} e^{-(x - 2)^2} = e^{-\infty} = 0 \]

Altså vil verdimengden til \(p\), og dermed definisjonsmengden til \(p^{-1}\) være

\[ D_{p^{-1}} = \langle 0, 1]. \]

---

Oppgave 2

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 9 \qder D_f = \langle a, \to\rangle. \]

Bestem det minste tallet \(a\) slik at \(f\) har en omvendt funksjon.

Fasit

\[ a = -3 \]

Løsning

For å bestemme det minste tallet \(a\) slik at \(f\) har en omvendt funksjon, må vi sjekke hvor grafen til \(f\) har ekstremalpunkter. Dette kan vi gjøre ved å løse \(f'(x) = 0\):

\[\begin{split} \begin{align*} f'(x) &= \left((x + 3)^2 - 9\right)' \\ \\ &= 2(x + 3) \end{align*} \end{split}\]

Så løser vi \(f'(x) = 0\):

\[ f'(x) = 0 \liff 2(x + 3) = 0 \liff x = -3 \]

Altså har grafen til \(f\) muligens et ekstremalpunkt i \(x = -3\). Vi sjekker ved å tegne et fortegnsskjema for \(f'(x)\):

Her ser vi at grafen til \(f\) synker før \(x = -3\) og stiger etterpå. Dermed vil \(f\) ha en omvendt funksjon dersom \(a \geq -3\). Det minste tallet for \(a\) vi kan velge er derfor

\[ a = -3. \]

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2x^3 + 3x \qder D_g = \langle \gets, a]. \]

Bestem det største tallet \(a\) slik at \(g\) har en omvendt funksjon.

Fasit

\[ a = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Løsning

Vi må avgjøre hvor grafen til \(g\) har eventuelle ekstremalpunkter, så da løser vi først \(g'(x) = 0\):

\[ g'(x) = (-2x^3 + 3x)' = -6x^2 + 3 \]

som betyr at

\[ g'(x) = 0 \liff -6x^2 + 3 = 0 \liff 6x^2 = 3 \]

som vi kan skrive om til

\[ x^2 = \dfrac{1}{2} \liff x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Deretter tegner vi et fortegnsskjema for \(g'(x)\):

Vi ser at begge punktene svarer til ekstremalpunkter siden den deriverte skifter fortegn rundt begge punktene. Det betyr at grafen til \(g\) skifter fra å synke til å stige når vi kommer forbi det første punktet. Dermed vil det største tallet for \(a\) som gir en omvendt funksjon for \(g\) være

\[ a = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

c

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x - 1)^2 - 4 \qder D_h = [a, \to\rangle. \]

1. Bestem \(a\) slik at \(h\) har en omvendt funksjon og \(D_h\) er størst mulig.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

Fasit

1. \(a = 1\)

2. \(D_{h^{-1}} = [-4, \to \rangle\).

Løsning

Funksjonen \(h\) er en andregradsfunksjon der funksjonsuttrykket til \(h\) er skrevet på ekstremalpunktsform som betyr at grafen til \(h\) har et ekstremalpunkt i \((1, -4)\).

Det betyr at det minste tallet \(a\) vi kan velge slik at \(h\) har en omvendt funksjon og at \(D_h\) er størst mulig blir

\[ a = 1 \]

Grafen til \(h\) er konveks siden den ledende koeffisienten er positiv, så det betyr at grafen til \(h\) har et bunnpunkt i \((1, -4)\). Dermed vil \(y = -4\) være den laveste mulige verdien på grafen, så verdimengden til \(h\) blir

\[ V_h = [-4, \to \rangle \]

Verdimengden til \(h\) er lik definisjonsmengden til \(h^{-1}\), så da følger det at

\[ D_{h^{-1}} = [-4, \to \rangle. \]

d

En funksjon \(k\) er gitt ved

\[ k(x) = x^2 e^{-x} \qder D_k = [0, a]. \]

1. Bestem \(a\) slik at \(k\) har en omvendt funksjon og \(D_k\) er størst mulig.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

Fasit

1. \(a = 2\)

2. \(D_{k^{-1}} = \left[0, \dfrac{4}{e^2}\right]\)

Løsning

Vi må undersøke hvor grafen til \(k\) har eventuelle ekstremalpunkter. Vi deriverer først ved å bruke produktregelen:

\[\begin{split} \begin{align*} k'(x) &= \left(x^2 e^{-x}\right)' \\ \\ &= (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})' \\ \\ &= 2x e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) \\ \\ &= e^{-x}(2x - x^2) \end{align*} \end{split}\]

Så løser vi \(k'(x) = 0\):

\[ k'(x) = 0 \limplies e^{-x}(2x - x^2) = 0 \]

som gir oss at

\[ e^{-x} = 0 \or 2x - x^2 = 0 \]

Den første av de to likningene har ingen løsning. Dermed vil \(k'(x) = 0\) hvis og bare hvis

\[ 2x - x^2 = 0 \liff x(2 - x) = 0 \liff x = 0 \or x = 2 \]

Vi tegner et fortegnsskjema for \(k'(x)\):

Altså vil grafen til \(k\) stige mellom \(x = 0\) og \(x = 2\), men synke etter at \(x = 2\). Dermed vil det største tallet for \(a\) som gir en omvendt funksjon for \(k\) være

\[ a = 2. \]

For å finne definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, må vi finne verdimengden til \(k\). Vi regner ut funksjonsverdiene til \(k\) i endepunktene av definisjonsmengden til \(k\) (siden \(k\) stiger helt fra \(x = 0\) til \(x = 2\)):

\[ k(0) = 0^2 e^{-0} = 0 \]

\[ k(2) = 2^2 e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} \]

Dette er endepunktene til verdimengden til \(k\), og dermed endepunktene til definisjonsmengden til \(k^{-1}\). Dermed har vi at

\[ D_{k^{-1}} = \left[0, \dfrac{4}{e^2}\right] \]

---

Oppgave 3

a

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 6x. \]

Bestem det største intervallet \(I = [a, b]\) slik at

• \(1 \in I\)

• \(f\) har en omvendt funksjon når \(I\) er definisjonsmengden til \(f\).

Fasit

\[ I = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right] \]

Løsning

Vi bestemmer ekstremalpunktene til \(f\) først slik at vi vet hvor grafen til \(f\) stiger og synker:

altså er \(x = \pm \sqrt{2}\) mulige ekstremalpunkter. Vi kan faktorisere \(f'(x)\) som

\[ f'(x) = 3\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right) \]

Så tegner vi et fortegnsskjema for \(f'(x)\):

Vi ser at grafen til \(f\) har ekstremalpunkter i \(x = \pm\sqrt{2}\). Siden \(f\) synker mellom disse punktene og \(1 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\), så må vi velge

\[ a = -\sqrt{2} \and b = \sqrt{2} \]

b

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^4 - 6x^2 + 2 \qder D_g = [a, b]. \]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at

1. \(g\) har en omvendt funksjon når \(D_g = [a, b]\).

2. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen blir så stor som mulig.

3. \(-1 \in D_g\).

Fasit

\[ a = -\sqrt{3} \and b = 0 \]

Løsning

Vi bestemmer eventuelle ekstremalpunkter på grafen til \(g\):

\[ g'(x) = (x^4 - 6x^2 + 2)' = 4x^3 - 12x = 0 \]

som gir

\[ 4x(x^2 - 3) = 0 \liff x = 0 \or x = \pm \sqrt{3}. \]

Vi tegner et fortegnsskjema for \(g'(x)\):

Fra fortegnsskjema ser vi at alle punktene der \(g'(x) = 0\) svarer til ekstremalpunkter, så vi må avgrense grafen til \(g\) til et intervall som ligger mellom to av de. Siden \(-1 \in D_g\), og dette punktet ligger mellom \(x = -\sqrt{3}\) og \(x = 0\), så må vi velge at

\[ a = -\sqrt{3} \and b = 0 \]

c

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^3 e^{-x^2 + 1} \qder D_h = [a, b]. \]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at

• \(h^{-1}\) eksisterer

• \(D_{h^{-1}}\) blir så stor som mulig.

Fasit

\[ a = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \and b = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \]

Løsning

Vi starter med å undersøke om \(h\) har noen ekstremalpunkter:

\[\begin{split} \begin{align*} h'(x) &= \left(x^3 e^{-x^2 + 1}\right)' \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} + x^3 e^{-x^2 + 1} \cdot (-x^2 + 1)' \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} + x^3 e^{-x^2 + 1} \cdot (-2x) \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} - 2x^4 e^{-x^2 + 1} \\ \\ &= (3 - 2x^2)x^2 e^{-x^2 + 1} \end{align*} \end{split}\]

Så løser vi \(h'(x) = 0\):

\[ h'(x) = 0 \limplies (3 - 2x^2)x^2 e^{-x^2 + 1} = 0 \]

som gir at

\[ (3 - 2x^2) = 0 \or x^2 = 0 \or e^{-x^2 + 1} = 0 \]

Den siste likningen har ingen løsning. For den første likningen får vi at

\[ 3 - 2x^2 = 0 \liff 2x^2 = 3 \liff x^2 = \dfrac{3}{2} \liff x = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2} \]

Den andre likningen gir oss at

\[ x^2 = 0 \liff x = 0. \]

Dermed kan vi faktorisere \(h'(x)\) som

\[ h'(x) = -2x^2 \left(x + \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x - \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) e^{-x^2 + 1} \]

Altså ser vi at \(x = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) er ekstremalpunkter, mens \(x = 0\) bare er et terrassepunkt. Det betyr at \(x = 0\) kan være med i \(D_h\) uten at \(h\) mister sin omvendte funksjon. Dermed kan vi velge at

\[ a = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \and b = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \]

for at \(h^{-1}\) skal eksistere og at \(D_{h^{-1}}\) blir så stor som mulig.

d

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(k\) er gitt ved

\[ k(x) = (\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1 \qder D_k = \langle a, \to\rangle. \]

1. Bestem det minste tallet \(a\) slik at \(k\) har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen for dette tallet \(a\).

Fasit

1. \(a = \sqrt{2}\).

2. \(D_{k^{-1}} = \left\langle\dfrac{3}{4}, \to\right\rangle\)

Løsning

Vi deriverer først \(k\) slik at vi kan bestemme eventuelle ekstremalpunkter. Vi husker på at

\[ \log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \limplies (\log_2 x)' = \dfrac{1}{x \ln 2} \]

Da får vi:

\[\begin{split} \begin{align*} k'(x) &= \left((\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1\right)' \\ \\ &= 2 \log_2 x \cdot (\log_2 x)' - (\log_2 x)' + 0 \\ \\ &= 2 \log_2 x \cdot \dfrac{1}{x \ln 2} - \dfrac{1}{x \ln 2} \\ \\ &= \dfrac{2 \log_2 x - 1}{x \ln 2} \end{align*} \end{split}\]

Så løser vi likningen \(k'(x) = 0\) for å finne eventuelle ekstremalpunkter:

\[ k'(x) = 0 \limplies \dfrac{2 \log_2 x - 1}{x \ln 2} = 0 \]

For at brøken skal bli null, må telleren være null, så da får vi at

\[ 2 \log_2 x - 1 = 0 \liff 2 \log_2 x = 1 \liff \log_2 x = \dfrac{1}{2} \]

som betyr at

\[ x = 2^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{2} \]

Det er ikke så rett fram å tegne et fortegnsskjema ved å faktorisere \(k'(x)\) siden det ikke er et polynom, men vi kan regne ut \(k'(x)\) for én verdi på hver side av \(x = \sqrt{2}\) for å avgjøre fortegnet til den deriverte:

For \(x = 1\) får vi:

\[ k'(1) = \dfrac{2 \log_2 1 - 1}{1 \cdot \ln 2} = \dfrac{0 - 1}{\ln 2} = \dfrac{-1}{\ln 2} < 0 \]

og for \(x = 2\) får vi:

\[ k'(2) = \dfrac{2 \log_2 2 - 1}{2 \cdot \ln 2} = \dfrac{2 \cdot 1 - 1}{2 \cdot \ln 2} = \dfrac{1}{2 \cdot \ln 2} > 0 \]

Dermed må fortegnslinja til \(k'(x)\) se slik ut:

Siden \(x = \sqrt{2}\) svarer til et ekstremalpunkt, så må vi plassere \(a\) slik at dette punktet ligger på kanten av definisjonsmengden til \(k\).

Dermed vil det minste tallet \(a\) som gjør at \(k\) har en omvendt funksjon være

\[ a = \sqrt{2} \]

Definisjonsmengden til \(k^{-1}\) er lik verdimengden til \(k\). For å finne denne regner vi ut funksjonsverdiene til \(k\) i endepunktene av definisjonsmengden til \(k\) (siden \(k\) stiger helt fra \(x = \sqrt{2}\) og utover):

\[ k(\sqrt{2}) = (\log_2 \sqrt{2})^2 - \log_2 \sqrt{2} + 1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{4} \]

Når \(x \to \infty\), så vil \(k(x) \to \infty\) siden

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x \to \infty} k(x) &= \lim_{x \to \infty} \left((\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty} (\log_2 x)^2 \left(1 - \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{(\log_2 x)^2}\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \cdot \lim_{x \to \infty}\left(1 - \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{(\log_2 x)^2}\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \cdot (1 - 0 + 0) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \\ \\ &= \infty \end{align*} \end{split}\]

Dermed vil verdimengden til \(k\), og dermed definisjonsmengden til \(k^{-1}\) være

\[ D_{k^{-1}} = \left\langle\dfrac{3}{4}, \to\right\rangle \]

---

Oppgave 4

Notasjonen for den deriverte til den omvendte funksjonen er litt knotete, men vi bør prøve å bli vant til skrivemåten. Å skrive \((f^{-1})'(y)\) er det samme som å skrive \(g'(y)\) dersom \(g = f^{-1}\). Men ved å bruke denne notasjonen slipper vi å gi et nytt navn til den omvendte funksjonen.

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 + 3 \qder D_f = \langle 0, \to\rangle. \]

Bestem \((f^{-1})'(5)\).

Fasit

\[ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{4} \]

Løsning

Vi vet at

\[ (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} \]

Vi vet at \(y = 5\), så vi må finne den tilhørende \(x\)-verdien. Da løser vi likningen \(f(x) = 5\):

\[ f(x) = 5 \limplies 2x^2 + 3 = 5 \]

som gir

\[ 2x^2 = 2 \liff x = \pm 1 \limplies x = 1 \]

Dermed vil

\[ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{f'(1)} \]

Da får vi

\[ f'(x) = (2x^2 + 3)' = 4x \limplies f'(1) = 4 \]

som betyr at

\[ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4} \]

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^3 + 2x + 1 \qder D_g = \langle -1, 2\rangle. \]

Bestem \((g^{-1})'(1)\).

Fasit

\[ \left(g^{-1}\right)'(1) = \dfrac{1}{2} \]

Løsning

Vi vet at

\[ (g^{-1})'(y) = \dfrac{1}{g'(x)} \]

Vi vet også at \(y = 1\), så vi må finne den tilhørende \(x\)-verdien. Da løser vi likningen \(g(x) = 1\):

\[ g(x) = 1 \limplies x^3 + 2x + 1 = 1 \]

som gir

\[ x^3 + 2x = 0 \limplies x(x^2 + 2) = 0 \liff x = 0 \]

som betyr at

\[ (g^{-1})'(1) = \dfrac{1}{g'(0)} \]

Vi har at

\[ g'(x) = 3x^2 + 2 \limplies g'(0) = 2. \]

Altså er

\[ \left(g^{-1}\right)'(1) = \dfrac{1}{g'(0)} = \dfrac{1}{2} \]

c

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ h(x) = \sqrt{x^2 + 3} \qder D_h = \langle 0, \to\rangle. \]

Bestem \((h^{-1})'(2)\).

Fasit

\[ (h^{-1})'(2) = 2 \]

Løsning

Vi vet at

\[ (h^{-1})'(y) = \dfrac{1}{h'(x)} \]

Vi vet også at \(y = 2\), så vi må finne den tilhørende \(x\)-verdien. Da løser vi likningen \(h(x) = 2\):

\[ h(x) = 2 \limplies \sqrt{x^2 + 3} = 2 \]

Vi kvadrerer begge sider og får

\[ (\sqrt{x^2 + 3})^2 = 2^2 \limplies x^2 + 3 = 4 \liff x^2 = 1 \limplies x = 1 \]

som betyr at

\[ (h^{-1})'(2) = \dfrac{1}{h'(1)} \]

Vi deriverer \(h(x)\) med kjerneregelen:

\[ h'(x) = \left(\sqrt{x^2 + 3}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \]

Da får vi

\[ h'(1) = \dfrac{1}{\sqrt{1^2 + 3}} = \dfrac{1}{2} \]

Altså er

\[ (h^{-1})'(2) = \dfrac{1}{h'(1)} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

d

En funksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = \dfrac{\ln x}{x} \qder D_p = \langle 0, 2\rangle. \]

Bestem \((p^{-1})'(0)\).

Fasit

\[ (p^{-1})'(0) = 1 \]

Løsning

Vi vet at

\[ (p^{-1})'(y) = \dfrac{1}{p'(x)} \]

Vi vet også at \(y = 0\), så vi må finne den tilhørende \(x\)-verdien. Da løser vi likningen \(p(x) = 0\):

\[ p(x) = 0 \limplies \dfrac{\ln x}{x} = 0 \limplies \ln x = 0 \liff x = 1 \]

som betyr at

\[ (p^{-1})'(0) = \dfrac{1}{p'(1)} \]

Vi deriverer \(p(x)\) med brøkregelen:

\[ p'(x) = \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} \]

Da får vi

\[ p'(1) = \dfrac{1 - \ln 1}{1^2} = 1 \]

Altså er

\[ (p^{-1})'(0) = \dfrac{1}{p'(1)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

---

Oppgave 5

a

En funksjon \(f\) har en tangent i punktet \((1, 2)\) med stigningstall \(4\).

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til \(f^{-1}\) i \((2, 1)\).

Fasit

\[ \dfrac{1}{4} \]

Løsning

Vi har at tangenten til grafen til \(f\) i punkt \((1, 2)\) har stigningstall \(4\) slik at \(f'(1) = 4\). Da vil en tangent i punktet \((2, 1)\) på grafen til \(f^{-1}\) ha stigningstallet:

\[ \left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4} \]

b

En funksjon \(g\) har nøyaktig én tangent med stigningstall \(2\) som går gjennom punktet \((2, 5)\).

Bestem koordinatene til punktet på grafen til \(g^{-1}\) der \((g^{-1})'(y) = \dfrac{1}{2}\).

Fasit

\[ (5, 2) \]

Løsning

Siden punktet \((2, 5)\) ligger på grafen til \(g\), vil punktet \((5, 2)\) ligge på grafen til \(g^{-1}\). Siden tangenten til grafen til \(g\) har stigningstall \(2\) i dette punktet, vil tangenten til grafen til \(g^{-1}\) i punktet \((5, 2)\) ha stigningstall:

\[ \left(g^{-1}\right)'(5) = \dfrac{1}{g'(2)} = \dfrac{1}{2} \]

c

En funksjon \(h\) har en tangent i punktet \((2, h(2))\) som har likningen

\[ y = -3x + 7. \]

Bestem koordinatene til et punkt på grafen til \(h^{-1}\) der en tangent har stigningstall \(-\dfrac{1}{3}\).

Fasit

\[ \left(1, 2\right) \]

d

En tangent til grafen til \(p^{-1}\) i punktet \((4, 1)\) har stigningstall \(5\).

Bestem \(p'(1)\)

Fasit

\[ p'(1) = \dfrac{1}{5} \]

---

Oppgave 6

a

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x \ln x \qder x \in \langle 0, \to\rangle. \]

La \(g\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

Bestem \(g'(4)\).

Fasit

\[ g'(4) \approx 0.45 \]

b

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 3x - 2 \qder D_f = \real. \]

La \(g\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

Bestem \(g'(12)\).

Fasit

\[ g'(12) = \dfrac{1}{15} \]

---

Oppgave 7

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 1 \]

og har definisjonsmengden \(I = [a, b]\) der \(a, b \in \real\).

a

Bestem det største intervallet \(I\) slik at \(f\) har en omvendt funksjon \(g\) når \(2 \in I\).

Fasit

\[ I = [0, 4] \]

b

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til \(g\) i punktet \((-10, 3)\).

Fasit

\[ -\dfrac{1}{3} \]

c

Grafen til \(g\) har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet \((-10, 3)\).

Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

\[ \left(-\dfrac{2}{3}, 1\right) \]

---

Oppgave 8

a

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x e^{-ax} \qder D_f = \langle 0, 3\rangle. \]

der \(a > 0\).

For hvilke verdier av \(a\) har \(f\) en omvendt funksjon?

Fasit

\[ a \in \left\langle 0, \dfrac{1}{3}\right] \]

b

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + bx^2 - 6 \qder D_g = \langle 2, \to\rangle. \]

For hvilke verdier av \(b\) har \(g\) en omvendt funksjon?

Fasit

\[ b \in [-1, \to \rangle \]

---

Oppgave 9

a

Åpne CAS‑vindu

Om en andregradsfunksjon \(f\) får du vite at

• Den største definisjonsmengden som \(f\) har en omvendt funksjon på er \(D_f = [2, \to\rangle\).

• Punktet \((3, -8)\) ligger på grafen til \(f\).

• \((f^{-1})'(-8) = \dfrac{1}{2}\)

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x^2 - 4x - 5 \]

b

Åpne CAS‑vindu

Om en tredjegradsfunksjon \(g\) får du vite at

• Det største lukkede intervallet \(g\) har en omvendt funksjon på er \(I = [-1, 3]\).

• Punktet \((2, 5)\) ligger på grafen til \(g\).

• \((g^{-1})'(5) = \dfrac{1}{9}\)

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 17 \]

---

Oppgave 10

Åpne CAS‑vindu

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^4 - bx^3 + 2 \qder D_f = [-3, \to \rangle. \]

For hvilke verdier av \(b\) har \(f\) en omvendt funksjon?

Hvordan kommer jeg i gang?

Tegn to fortegnslinjer for \(f'(x)\) – én der du antar at \(b > 0\) og én der du antar at \(b < 0\).

Fasit

\[ b \in \langle \gets, -4] \]

Løsning

Vi må passe på at \(f\) er monoton i hele sin definisjonsmengde for at det skal eksistere en omvendt funksjon \(f^{-1}\). Vi deriverer \(f\) og finner ut hvordan \(f'(x)\) har eventuelle ekstremalpunkter:

\[ f'(x) = (x^4 - bx^3 + 2)' = 4x^3 - 3bx^2 = x^2(4x - 3b) \]

Så løser vi \(f'(x) = 0\) for å finne eventuelle ekstremalpunkter:

\[ f'(x) = 0 \limplies x^2(4x - 3b) = 0 \liff x = 0 \or x = \dfrac{3b}{4} \]

Siden \(f'(x)\) inneholder faktoren \(x^2\), så vil ikke fortegnet til \(f'(x)\) endre seg når vi passerer gjennom \(x = 0\). Det betyr at det er faktoren \((4x - 3b)\) som avgjør når fortegnet til \(f'(x)\) endrer seg. Vi må derfor passe på at \(x = \dfrac{3b}{4}\) ligger på kanten eller utenfor definisjonsmengden til \(f\). For å sikre dette, så må vi kreve at

\[ \dfrac{3b}{4} \leq -3 \liff b \leq -4. \]

Altså vil \(f\) har en omvendt funksjon dersom

\[ b \in \langle \gets, -4]. \]

---

Oppgave 11

Åpne CAS‑vindu

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} -x^2 + (2 + k)x, & x < k \\ \\ x^2 + (2 - k)x, & x \geq k \end{cases} \end{split}\]

der \(k \in \real\).

For hvilke verdier av \(k\) har \(f\) en omvendt funksjon?

Fasit

\[ k \in [-2, 2] \]

Løsning

Vi lar

\[ g(x) = -x^2 + (2 + k)x \qder x < k \]

og

\[ h(x) = x^2 + (2 - k)x \qder x \geq k. \]

Både \(g\) og \(h\) er andregradsfunksjoner som betyr at de er monotone på hver side av ekstremalpunktene sine. Vi har at

\[ g'(x) = (-x^2 + (2 + k)x)' = -2x + 2 + k = 0 \liff x = \dfrac{k + 2}{2} \]

Ekstremalpunktet til \(g\) vil derfor ligge midt mellom \(x = k\) og \(x = 2\) siden ekstremalpunktet er gjennomsnittet av de to punktene. Dersom vi velger \(k = 2\), så ligger ekstremalpunktet akkurat på kanten av definisjonsmengden til \(g\) i \(x = k\). Dersom vi velger \(k > 2\), så vil ekstremalpunktet havne en plass der \(x < k\) og ligge innenfor definisjonsmengden til \(g\). Da vil ikke \(g\) være en monoton funksjon på sin definisjonsmengde. Det betyr at vi må minst kreve at \(k \leq 2\).

Figuren nedenfor viser grafen til \(f\) når \(k > 2\).

2.00 6.00

k = 2.00

På samme måte har vi at

\[ h'(x) = (x^2 + (2 - k)x)' = 2x + 2 - k = 0 \liff x = \dfrac{k - 2}{2} \]

Ekstremalpunktet til \(h\) vil derfor ligge midt mellom \(x = k\) og \(x = -2\) siden ekstremalpunktet er gjennomsnittet av de to punktene. Dersom vi velger \(k = -2\), så ligger ekstremalpunktet akkurat på kanten av definisjonsmengden til \(h\) i \(x = k\). Dersom vi velger \(k < -2\), så vil ekstremalpunktet havne en plass der \(x > k\) og ligge innenfor definisjonsmengden til \(h\). Da vil ikke \(h\) være en monoton funksjon. Det betyr at vi må minst kreve at \(k \geq -2\).

Figuren nedenfor viser grafen til \(f\) når \(k < -2\).

-6.00 -2.00

k = -2.00

Altså må

\[ k \geq -2 \and k \leq 2 \liff k \in [-2, 2]. \]

Da vil \(f\) være monoton på hele sin definisjonsmengde siden både \(g\) og \(h\) blir det. Dermed har \(f\) en omvendt funksjon dersom

\[ k \in [-2, 2]. \]

Nedenfor vises grafen til \(f\) for disse verdiene av \(k\).

-2.00 2.00

k = -2.00