Logaritmer

Innhold

2. Logaritmer#

Læringsmål

Kunne beskrive sammenhengen mellom eksponentialfunksjoner og logaritmer
Kunne bruke grafiske framstillinger av eksponentialfunksjoner til å bestemme verdien til logaritmer
Kunne bruke potensregning til å bestemme verdien til logaritmer

Definisjon#

Logaritmer

Logaritmen med grunntall \(a\) definerer vi som det tallet \(x\) som vi må opphøye \(a\) med for å få \(y\). Altså, hvilken verdi for \(x\) som løser likningen

\[ a^x = y \]

Vi skriver logaritmen med grunntall \(a\) som:

\[ x = \log_{\displaystyle a}(y) \]

Verdien til logaritmen er \(x\)-koordinaten til et punkt \((x, y)\) på grafen til \(y = a^x\).

Det er sjeldent vi kan lese av den eksakte verdien til en logaritme fra grafen til en eksponentialfunksjon, men vi kan likevel lese av tilnærmede verdier.

Eksempel 1

Nedenfor vises grafen til \(f(x) = 10^x\).

Bestem \(\log_{10}(2)\).

Løsning

Vi tegner en horisontal linje \(y = 2\) og sjekker når den treffer grafen. Deretter tegner vi en vertikal linje ned til \(x\)-aksen for å lese av \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet:

Vi ser at når \(y \approx 2\) på grafen til \(f\), så er \(x \approx 0.3\). Det betyr at

\[ \log_{10}(2) \approx 0.3 \]

Eksempel 2

Bestem \(\log_5(125)\).

Løsning

For å bestemme \(\log_5(125)\), må vi finne hvilket tall vi må opphøye \(5\) med for å få \(125\). Vi kan lage et faktortre som vist til høyre. Da ser vi at

\[ 125 = 5^3 \]

Det betyr at

\[ \log_5(125) = 3 \]

Logaritmefunksjoner#

Hvis vi ser på grafen til en eksponentialfunksjon, vil vi oppdage at for hver \(y\)-verdi, finnes det bare én \(x\)-verdi:

Det lar oss definere en logaritmefunksjon for hvert grunntall \(a\) på formen \(g(x) = \log_a(x)\). Tegner vi de to funksjonene i samme koordinatssystem, får vi grafen til \(g\) ved å speile grafen til \(f(x) = a^x\) om linja \(y = x\). Se figuren nedenfor.

La oss legge merke til noen ting med figuren ovenfor. Vi ser at eksponentialfunksjonen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\), mens logaritmefunksjonen skjærer på sin side \(x\)-aksen i \((1, 0)\).

Vi ser også at eksponentialfunksjonen går gjennom punktet \((1, a)\) som betyr at \(f(1) = a\). Logaritmefunksjonen på sin side går gjennom punktet \((a, 1)\) som betyr at \(g(a) = 1\).

Vi kan derfor trekke følgende generelle konklusjoner:

Spesielle logaritmeverdier

For alle logaritmer \(\log_a(x)\), så gjelder:

\[ \log_a(1) = 0 \qog \log_a(a) = 1 \]

Mer generelt kan vi merke oss at \(x\)-koordinatene og \(y\)-koordinatene bytter rolle mellom de to grafene! Det betyr at definisjonsmengden til \(f\) er verdimengden til \(g\). Og verdimengden til \(f\) er definisjonsmengden til \(g\)! Her er \(f\) og \(g\) et eksempel på det vi kaller omvendte funksjoner. Det skal vi ser mer nøye på senere i faget.

Logaritmefunksjoner

For en eksponentialfunksjon \(f(x) = a^x\) er definisjonsmengden og verdimengden gitt ved

\[ D_f = \mathbb{R} \qog V_f = \langle 0, \to \rangle \]

Logaritmefunksjonen \(g\) for samme grunntall \(a\) er da definert som

\[ g(x) = \log_a(x) \qder D_g = \langle 0, \to \rangle \qog V_g = \mathbb{R} \]

Grafen til logaritmefunksjonen \(g\) får vi ved å speile grafen til eksponentialfunksjon \(f\) om linja \(y = x\).

La oss se på hvordan vi kan avgjøre hvilken logaritmefunksjon vi har med å gjøre med et lite triks.

Eksempel 3

I figuren nedenfor vises grafen til en logaritmefunksjon \(g(x) = \log_a(x)\).

Bestem grunntallet \(a\).

Løsning

Vi vet at grafen til en logaritmefunksjon må gå gjennom \((a, 1)\). Det vil si at vi kan lese av hvilke \(x\)-verdi som gir \(y = 1\). Det må være grunntallet til logaritmen.

Fra grafen ovenfor, kan vi se at dette er når \(x = 5\). Det betyr at grunntallet til logaritmen er \(a = 5\), og figuren viser derfor grafen til

\[ g(x) = \log_5(x) \]

Logaritmesetningene#

Logaritmer har regneregler som er spesielt nyttig for å skrive om uttrykk med logaritmer – vi kommer til å trenge dem når vi jobber med logaritmelikninger og eksponentiallikninger. Reglene har en én-til-én sammenheng med potensreglene som vi skal se nedenfor.

Produktregelen for logaritmer

For alle tall \(x, y \in \langle 0, \to \rangle\) gjelder:

\[ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \]

Bevis

Vi starter med å tenke oss at vi skriver \(x\) og \(y\) som potenser med grunntall \(a\) slik at

\[ x = a^p \and y = a^q \]

Siden \(\log_a(x)\) er hvilket tall vi må opphøye \(a\) i for å få \(x\), betyr det at \(\log_a(x) = p\). På samme måte har vi at \(\log_a(y) = q\). I tillegg gir potensreglene vi har sett på at

\[ x \cdot y = a^p \cdot a^q = a^{p+q} \]

Verdien til \(\log_a(xy)\) er hva vi må opphøye \(a\) med for å få \(xy\). Det er \(p + q\), som betyr at

\[ \log_a(xy) = p + q = \log_a(x) + \log_a(y) \]

Eksempel 4

Grafen til eksponentialfunksjonen \(f(x) = 5^x\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\log_5(36)\)

Løsning

Vi kan ikke lese av hva verdien av \(x\) må være for at \(5^x = 36\) direkte fra grafen. Men vi kan faktorisere \(36\) som

\[ 36 = 2 \cdot 18 \]

som betyr at vi kan bruke produktregelen for logaritmer:

\[ \log_5(36) = \log_5(2 \cdot 18) = \log_5(2) + \log_5(18) \]

Fra grafen til \(f\), kan vi se at grafen omtrent går gjennom punktet \((0.4, 2)\) som betyr at \(\log_5(2) \approx 0.4\).

Vi kan også se at grafen går gjennom punktet \((1.8, 18)\) som betyr at \(\log_5(18) \approx 1.8\).

Dermed får vi at

\[ \log_5(36) \approx 0.4 + 1.8 = 2.2 \]

Kvotientregelen for logaritmer

For alle tall \(x, y \in \langle 0, \to \rangle\) gjelder:

\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \]

Bevis

Vi starter med å tenke oss at vi skriver \(x\) og \(y\) som potenser med grunntall \(a\) slik at

\[ x = a^p \and y = a^q \]

Dette betyr at

\[ \log_a(x) = p \and \log_a(y) = q \]

Med potensregelen for brøker får vi:

\[ \dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \liff \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = p - q = \log_a(x) - \log_a(y) \]

Eksempel 5

I figuren nedenfor vises grafen til \(f(x) = 3^x\).

Bruk grafen til å bestemme \(\log_3\left(\dfrac{3}{27}\right)\).

Løsning

Vi kan ikke lese av hva løsningen av likningen \(3^x = \dfrac{1}{9}\) må være direkte fra grafen. Men vi kan skrive om uttrykket med kvotientregelen som

\[ \log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = \log_3(3) - \log_3(27) \]

Deretter kan vi lese av grafen at \(\log_3(3) = 1\) siden grafen går gjennom \((1, 3)\) og \(\log_3(27) = 3\) siden grafen går gjennom \((3, 27)\). Dermed får vi at

\[ \log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = 1 - 3 = -2 \]

Vi ser at logaritmen blir negativ når vi tar logaritmen av et tall \(x \in \langle 0, 1 \rangle\). Dette henger sammen med potensregelen \(a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}\). I dette tilfellet er det fordi

\[ \dfrac{3}{27} = \dfrac{3}{3^3} = 3^{1-3} = 3^{-2} \]

Så for å få \(\dfrac{3}{27}\), må vi opphøye \(3\) med eksponenten \(-2\) som forklarer hvorfor \(\log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = -2\).

Potensregelen for logaritmer

For alle tall \(x \in \langle 0, \to \rangle\) og \(b \in \mathbb{R}\) gjelder:

\[ \log_a(x^b) = b \cdot \log_a(x) \]

Bevis

Vi tenker oss at vi kan skrive \(x\) som en potens med grunntall \(a\) slik at

\[ x = a^p \liff \log_a(x) = p \]

Videre kan vi bruke potensregelen \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\), men tilpasset med variablene vi har med å gjøre:

\[ x^b = (a^p)^b = a^{p\cdot b} \liff \log_a(x^b) = p \cdot b = \log_a(x) \cdot b \]

Dermed er

\[ \log_a(x^b) = b \cdot \log_a(x) \]

Eksempel 5

Regn ut

\[ \log_5(25^3) \]

Løsning

Vi skriver om \(25\) som en potens med grunntall \(5\):

\[ 25 = 5^2. \]

Deretter kan vi skrive

\[ \log_5(25^3) = \log_5((5^2)^3) = \log_5(5^{2 \cdot 3}) = \log_5(5^{6}) = 6 \cdot \log_5(5) = 6 \cdot 1 = 6. \]

Eksempel 6

Regn ut \(\log_2\left(\dfrac{1}{128}\right)\).

Løsning

Vi starter med å primtallsfaktorisere \(128\) så vi kan skrive den som et produkt av potenser. Fra faktortreet til høyre ser vi at

\[ 128 = 2^7 \]

Det betyr at

\[\begin{align*} \log_2\left(\dfrac{1}{128}\right) &= \log_2\left(\dfrac{1}{2^7}\right) \\ \\ &= \log_2\left(2^{-7}\right) \\ \\ &= -7 \cdot \log_2(2) \\ \\ &= -7 \cdot 1 = -7. \end{align*}\]