Oppgaver: Skalarproduktet

Oppgaver: Skalarproduktet#

Oppgave 1

Regn ut skalarproduktet mellom vektorene.

a

\[ \vec{a} = [2, 3] \qog \vec{b} = [4, -1] \]

Fasit

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \]

Løsning

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5 \]

b

\[ \vec{c} = [-2, 1] \qog \vec{d} = [5, 3] \]

Fasit

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = -7 \]

Løsning

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = -2 \cdot 5 + 1 \cdot 3 = -10 + 3 = -7 \]

c

\[ \vec{p} = [-2, 0] \qog \vec{q} = [1, 4] \]

Fasit

\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = -2 \]

Løsning

\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = -2 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = -2 + 0 = -2 \]

d

\[ \vec{u} = [2, 3] \qog \vec{v} = [-3, 4] \]

Fasit

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \]

Løsning

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = -6 + 12 = 6 \]

Oppgave 2

Den geometriske formelen for skalarproduktet

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \]

Kjente cosinusverdier

\(\varphi\)	\(0\degree\)	\(30\degree\)	\(45\degree\)	\(60\degree\)	\(90\degree\)	\(120\degree\)	\(135\degree\)	\(150\degree\)	\(180\degree\)
\(\cos \varphi\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-\dfrac{1}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)

a

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 5\) og \(\len{b} = 4\)
vinkelen mellom dem er \(60\degree\)

Bestem \(\dot{a}{b}\).

Fasit

\[ \dot{a}{b} = 10 \]

Løsning

Vi bruker den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{a}{b} &= \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \\ \\ &= 5 \cdot 4 \cdot \cos 60\degree \\ \\ &= 20 \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= 10 \end{align*} \end{split}\]

der vi har brukt at \(\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\).

b

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 2\)
\(\dot{a}{b} = -4\)
vinkelen mellom dem er \(150\degree\)

Bestem \(\len{b}\).

Fasit

\[ \len{b} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \]

Løsning

Vi bruker den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \]

Så setter vi inn det vi vet:

\[ -4 = 2 \cdot \len{b} \cdot \cos 150\degree \]

Vi har at \(\cos 150\degree = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), så vi får

\[ -4 = 2 \cdot \len{b} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

\[ -4 = -\len{b} \cdot \sqrt{3} \]

\[ \len{b} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \]

c

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 3\) og \(\len{b} = 6\)
\(\dot{a}{b} = 0\)

Bestem vinkelen \(\varphi\) mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).

Fasit

\[ \varphi = 90\degree \]

d

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 2\) og \(\len{b} = 4\)
\(\dot{a}{b} = -4\)

Bestem vinkelen \(\varphi\) mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).

Fasit

\[ \varphi = 120\degree \]

Løsning

Vi bruker den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \]

Så setter vi inn det vi vet og løser for \(\cos \varphi\):

\[ -4 = 2 \cdot 4 \cdot \cos \varphi \]

\[ -4 = 8 \cdot \cos \varphi \]

\[ \cos \varphi = -\dfrac{1}{2} \]

Fra hinttabellen ser vi at \(\cos 120\degree = -\dfrac{1}{2}\), altså er vinkelen mellom vektorene

\[ \varphi = 120\degree. \]

Oppgave 3

Kjente cosinusverdier

\(\varphi\)	\(0\degree\)	\(30\degree\)	\(45\degree\)	\(60\degree\)	\(90\degree\)	\(120\degree\)	\(135\degree\)	\(150\degree\)	\(180\degree\)
\(\cos \varphi\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-\dfrac{1}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 4\) og \(\len{b} = 2\)
vinkelen mellom dem er \(60\degree\)

a

Bestem \(\dot{a}{b}\).

Fasit

\[ \dot{a}{b} = 4 \]

Løsning

Vi bruker den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{a}{b} &= \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \\ \\ &= 4 \cdot 2 \cdot \cos 60\degree \\ \\ &= 8 \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= 4 \end{align*} \end{split}\]

b

En annen vektor er gitt ved

\[ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}. \]

Bestem \(\len{c}\).

Fasit

\[ \len{c} = 2\sqrt{7} \]

Løsning

Vi har at \(\len{c}^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}\). Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \len{c}^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= \len{a}^2 + 2 \cdot \dot{a}{b} + \len{b}^2 \\ \\ &= 16 + 8 + 4 \\ \\ &= 28 \end{align*} \end{split}\]

Altså er lengden av \(\vec{c}\) gitt ved

\[ \len{c} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}. \]

c

En vektor \(\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}\).

Bestem \(\dot{d}{a}\).

Fasit

\[ \dot{d}{a} = 12 \]

Løsning

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{d}{a} &= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} \\ \\ &= \len{a}^2 - \dot{a}{b} \\ \\ &= 16 - 4 \\ \\ &= 12 \end{align*} \end{split}\]

d

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b} \qog \vec{q} = \vec{a} + 3\vec{b} \]

Bestem \(\dot{p}{q}\).

Fasit

\[ \dot{p}{q} = 40 \]

Løsning

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{p}{q} &= (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) \\ \\ &= 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 6\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - 3\vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= 2\len{a}^2 + 5\dot{a}{b} - 3\len{b}^2 \\ \\ &= 2 \cdot 16 + 5 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \\ \\ &= 32 + 20 - 12 \\ \\ &= 40 \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 4

a

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{a} = [2, 3] \qog \vec{b} = [-4, t] \qfor t \in \real \]

Bestem \(t\) slik at \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er ortogonale.

Fasit

\[ t = \dfrac{8}{3} \]

Løsning

Vektorene er ortogonale dersom skalarproduktet deres blir null:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

som gir

\[ [2, 3] \cdot [-4, t] = 0 \]

\[ 2 \cdot (-4) + 3 \cdot t = 0 \]

\[ -8 + 3t = 0 \liff t = \dfrac{8}{3} \]

b

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{p} = [1, 2] \qog \vec{q} = [k, 4] \qfor k \in \real \]

Bestem \(k\) slik at \(\vec{p} \perp \vec{q}\).

Fasit

\[ k = -8 \]

Løsning

Vi har at

\[ \vec{p} \perp \vec{q} \liff \vec{p} \cdot \vec{q} = 0. \]

Dette gir oss likningen

\[ [1, 2] \cdot [k, 4] = 0 \]

\[ 1 \cdot k + 2 \cdot 4 = 0 \]

\[ k + 8 = 0 \liff k = -8. \]

c

En vektor \(\vec{a} = [5, 2]\).

Bestem en vektor \(\vec{b}\) slik at \(\vec{a} \perp \vec{b}\) og \(\len{a} = \len{b}\).

Fasit

\[ \vec{b} = [-2, 5] \qeller \vec{b} = [2, -5] \]

Løsning

Vi kommer til å bruke dette stadig vekk senere, men hvis vi bytter om på rekkefølgen til koordinatene og endrer fortegnet på én av koordinatene, så får vi:

\[ \vec{b} = [-2, 5] \]

Vi regner ut skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = [5, 2] \cdot [-2, 5] = 5 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 = -10 + 10 = 0 \]

Så de er ortogonale! Lengden til \(\vec{b}\) må også være lik som før siden vi bare byttet plass på koordinatene og endret fortegnet på én av dem. Dette svarer til å bare rotere den opprinnelige vektoren \(90\degree\).

Oppgave 5

Kjente cosinusverdier

\(\varphi\)	\(0\degree\)	\(30\degree\)	\(45\degree\)	\(60\degree\)	\(90\degree\)	\(120\degree\)	\(135\degree\)	\(150\degree\)	\(180\degree\)
\(\cos \varphi\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-\dfrac{1}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)

Om to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) får du vite at

\(\len{a} = 2\) og \(\len{b} = 3\)
\(\dot{a}{b} = -3 \sqrt{2}\)

a

Bestem vinkelen \(\varphi\) mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).

Fasit

\[ \varphi = 135\degree \]

Løsning

Vi bruker den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \len{a} \cdot \len{b} \cdot \cos \varphi \]

Så setter vi inn det vi vet og løser for \(\cos \varphi\):

\[ -3 \sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \cos \varphi \]

\[ -3 \sqrt{2} = 6 \cdot \cos \varphi \]

\[ \cos \varphi = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Fra hinttabellen ser vi at \(\cos 135\degree = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), altså er vinkelen mellom vektorene

\[ \varphi = 135\degree. \]

b

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b} \qog \vec{q} = \vec{a} - \vec{b} \]

Bestem \(\dot{p}{q}\).

Fasit

\[ \dot{p}{q} = -1 + 3\sqrt{2} \]

Løsning

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{p}{q} &= (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ \\ &= 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= 2\len{a}^2 - \dot{a}{b} - \len{b}^2 \\ \\ &= 2 \cdot 4 - (-3 \sqrt{2}) - 9 \\ \\ &= 8 + 3\sqrt{2} - 9 \\ \\ &= -1 + 3\sqrt{2} \end{align*} \end{split}\]

c

En vektor \(\vec{r}\) er gitt ved

\[ \vec{r} = \vec{a} + t\cdot \vec{b} \qder t \in \real \]

Bestem \(t\) slik at vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{r}\) er \(90\degree\).

Fasit

\[ t = \dfrac{4}{3 \sqrt{2}} = \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \]

Løsning

Vi har at vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{r}\) skal være \(90\degree\). Det er den dersom skalarproduktet deres blir null:

\[ \vec{a} \cdot \vec{r} = 0 \]

\[ \vec{a} \cdot (\vec{a} + t \cdot \vec{b}) = 0 \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

\[ \len{a}^2 + t \cdot \dot{a}{b} = 0 \]

\[ 4 + t \cdot (-3 \sqrt{2}) = 0 \]

\[ 4 - 3\sqrt{2} \cdot t = 0 \liff t = \dfrac{4}{3 \sqrt{2}} \]

Dette kan vi skrive om til

\[ t = \dfrac{4 \sqrt{2}}{6} = \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \]

Oppgave 6

Tre vektorer er gitt ved

\[ \vec{a} = [1, 2] \qog \vec{b} = [4, -1] \qog \vec{c} = [-2, 3] \]

a

Avgjør hvilken vektor som er lengst.

Fasit

Vektoren \(\vec{b}\) er lengst.

Løsning

Vi regner ut lengden til hver av vektorene:

\[ \len{a} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

\[ \len{b} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]

\[ \len{c} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13} \]

Altså er det vektoren \(\vec{b}\) som er lengst.

b

Undersøk hvilke vektorpar som har en vinkel \(\varphi\) mellom seg der:

\(\varphi \in [0, 90\degree\rangle\)
\(\varphi = 90\degree\)
\(\varphi \in \langle 90\degree, 180\degree]\)

Fasit

Vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er i intervallet \(\varphi \in [0, 90\degree\rangle\).
Vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{c}\) er i intervallet \(\varphi \in [0, 90\degree\rangle\).
Vinkelen mellom \(\vec{b}\) og \(\vec{c}\) er i intervallet \(\varphi \in \langle 90\degree, 180\degree]\).

Løsning

Vi regner ut skalarproduktene mellom vektorparene:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = [1, 2] \cdot [4, -1] = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 4 - 2 = 2 \]

Altså er vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) i intervallet \(\varphi \in [0, 90\degree\rangle\) siden skalarproduktet er positivt.

\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = [1, 2] \cdot [-2, 3] = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4 \]

Altså er vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{c}\) i intervallet \(\varphi \in [0, 90\degree\rangle\) siden skalarproduktet er positivt.

\[ \vec{b} \cdot \vec{c} = [4, -1] \cdot [-2, 3] = 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = -8 - 3 = -11 \]

Altså er vinkelen mellom \(\vec{b}\) og \(\vec{c}\) i intervallet \(\varphi \in \langle 90\degree, 180\degree]\) siden skalarproduktet er negativt.

Oppgave 7

For to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(\len{a} = 4\), \(\len{b} = 2\sqrt{3}\) og vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(30\degree\).

En vektor \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\).

a

Bestem en eksakt verdi for \(\len{p}\).

Fasit

\[ \len{p} = 2\sqrt{13} \]

Løsning

Vi har at \(\len{p}^2 = \vec{p} \cdot \vec{p}\). Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \len{p}^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= \len{a}^2 + 2 \cdot \dot{a}{b} + \len{b}^2 \\ \\ &= 16 + 2 \cdot (4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30\degree) + 12 \\ \\ &= 16 + 16\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 12 \\ \\ &= 16 + 24 + 12 \\ \\ &= 52 \end{align*} \end{split}\]

der vi har brukt at \(\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Dermed er lengden av \(\vec{p}\) gitt ved

\[ \len{p} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}. \]

b

En annen vektor \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b} \qder t \in \real \]

Bestem \(t\) slik at \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er ortogonale.

Fasit

\[ t = -\dfrac{6}{7} \]

Løsning

Vi har at vektorene er ortogonale dersom skalarproduktet deres blir null:

\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

\[ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t \cdot \vec{a} + \vec{b}) = 0 \]

\[ t \cdot \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \]

\[ t \cdot \len{a}^2 + (1 + t) \cdot \dot{a}{b} + \len{b}^2 = 0 \]

\[ t \cdot 16 + (1 + t) \cdot (4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30\degree) + 12 = 0 \]

\[ 16t + (1 + t) \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 12 = 0 \]

\[ 16t + (1 + t) \cdot 12 + 12 = 0 \]

\[ 16t + 12 + 12t + 12 = 0 \]

\[ 28t + 24 = 0 \liff t = -\dfrac{24}{28} = -\dfrac{6}{7} \]

Oppgave 8

For vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(\len{a} = 2\), \(\len{b} = 3\) og \(\dot{a}{b} = -3\).

La \(\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}\) og \(\vec{v} = \vec{a} - 6\vec{b}\).

a

Bestem lengden av \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).

Fasit

\[ \len{u} = \sqrt{7} \and \len{v} = 2\sqrt{91} \]

Løsning

Vi har at \(\len{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}\). Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \len{u}^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= \len{a}^2 + 2 \cdot \dot{a}{b} + \len{b}^2 \\ \\ &= 4 + 2 \cdot (-3) + 9 \\ \\ &= 4 - 6 + 9 \\ \\ &= 7 \end{align*} \end{split}\]

derfor er lengden av \(\vec{u}\) gitt ved

\[ \len{u} = \sqrt{7}. \]

Vi har at \(\len{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \len{v}^2 &= (\vec{a} - 6\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} - 12 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + 36 \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= \len{a}^2 - 12 \cdot \dot{a}{b} + 36 \cdot \len{b}^2 \\ \\ &= 4 - 12 \cdot (-3) + 36 \cdot 9 \\ \\ &= 4 + 36 + 324 \\ \\ &= 364 \end{align*} \end{split}\]

Det kan være lurt å primtallsfaktorisere \(364\) for å forenkle kvadratroten, som vi viser i faktortreet til høyre. Dermed får vi at

\[ \len{v}^2 = 364 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13. \]

Altså blir lengden

\[ \len{v} = \sqrt{364} = \sqrt{2^2 \cdot 7 \cdot 13} = 2\sqrt{91}. \]

b

Bestem \(\dot{u}{v}\).

Fasit

\[ \dot{u}{v} = -35 \]

Løsning

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{u}{v} &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) \\ \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - 6\vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= \len{a}^2 - 5\dot{a}{b} - 6\len{b}^2 \\ \\ &= 4 - 5 \cdot (-3) - 6 \cdot 9 \\ \\ &= 4 + 15 - 54 \\ \\ &= -35 \end{align*} \end{split}\]

c

En annen vektor \(\vec{w}\) er gitt ved

\[ \vec{w} = t \cdot \vec{a} + \vec{b} \qder t \in \real \]

Bestem \(t\) slik at \(\vec{w} \perp \vec{u}\).

Fasit

\[ t = 6 \]

d

En vektor \(\vec{p}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = \vec{a} + t\cdot \vec{b} \qder t \in \real \]

Bestem \(t\) slik at \(\len{p}\) blir minst mulig. Hva er den minste lengden \(\vec{p}\) kan ha?

Fasit

\[ t = \dfrac{1}{3} \qog \abs{\vec{p}}_\mathrm{minst} = \sqrt{3} \]

Oppgave 9

Tre punkter er gitt ved \(A(1, 1)\), \(B(9, 7)\) og \(P(5, 9)\).

a

Bruk vektorregning til å vise at \(\angle APB = 90\degree\).

b

En linje \(\ell\) er parallell med \(\lvec{AB}\) og går gjennom punktet \(P\).

Det er også et annet punkt \(Q\) på \(\ell\) slik at \(\angle AQB = 90\degree\).

Bestem koordinatene til \(Q\).

Oppgave 10

I en trekant \(\triangle ABC\) er hjørnene \(A(-3, -1)\), \(B(2, -2)\) og \(C(5, 2)\).

a

Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side i trekanten som er kortest.

b

Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene i trekanten er \(90\degree\).

Oppgave 11

Tre punkter er gitt ved \(A(1, 2)\), \(B(-1, 5)\) og \(C(t, 4)\) der \(t \in \real\).

a

Bestem \(t\) slik at \(\angle BAC = 90\degree\)

b

Bestem \(t\) slik at \(A\), \(B\) og \(C\) ligger på en rett linje.

Oppgave 12

Vi har gitt tre punkter \(A(3, 4)\), \(B(-1, -2)\) og \(C(3 + t, 2t)\) der \(t \in \real\).

a

Bestem \(t\) slik at punktene \(A\), \(B\) og \(C\) ligger på en rett linje.

b

Bestem \(t\) slik at punktene \(A\), \(B\) og \(C\) danner en trekant \(\triangle ABC\) der \(\angle C = 90\degree\).

Oppgave 13

I et koordinatsystemet har vi gitt punktene \(A(-2, 3)\) og \(B(3, 2)\).

a

Bestem lengden av linjestykket \(AB\).

b

Linja gjennom \(A\) og \(B\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \(C\).

Bestem koordinatene til \(C\).

c

Et punkt \(D\) er gitt ved \(D(2, t)\) der \(t \in \real\).

Bestem \(t\) slik at \(\angle ABD = 90\degree\).