15. Oppsummering: Omvendte funksjoner

Definisjon

\(f\) og \(g\) er omvendte funksjoner hvis

\[ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x \]

Vi skriver ofte at \(g = f^{-1}\) som leses som “\(f\)-invers”.

Definisjonsmengde og verdimengde

• Definisjonsmengden til \(f\) er lik verdimengden til \(f^{-1}\):

\[ D_f = V_{f^{-1}} \]

• Verdimengden til \(f\) er lik definisjonsmengden til \(f^{-1}\):

\[ V_f = D_{f^{-1}} \]

Finne \(f^{-1}(x)\)

1. Løs likningen \(f(x) = y\) for \(x\) slik at du får \(x = g(y)\)

2. Sett \(f^{-1}(x) = g(x)\)

Grafisk sammenheng

• Grafen til \(f^{-1}\) er grafen til \(f\) speilet om linja \(y = x\).

• Hvis et punkt \((a, b)\) er på grafen til \(f\), så er punktet \((b, a)\) på grafen til \(f^{-1}\)

• \(f(a) = b \liff f^{-1}(b) = a\)

Den deriverte av en omvendt funksjon

• Hvis et punkt \((a, b)\) ligger på grafen til \(f\), så er

\[ \left(f^{-1}\right)'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \]

forutsatt at \(f'(a) \neq 0\).

• Hvis en tangent i punktet \((a, b)\) på grafen til \(f\) har stigningstall \(f'(a)\), så har en tangent til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((b, a)\) stigningstall \(\dfrac{1}{f'(a)}\)

Eksistens av omvendte funksjoner

Kontinuerlige og deriverbare funksjoner:

Det finnes en omvendt funksjon til \(f\) dersom:

• \(f\) har ingen ekstremalpunkter på innsiden av definisjonsmengden \(D_f\) (ingen topp- eller bunnpunkter).

• Grafen til \(f\) snur aldri og er enten strengt voksende eller strengt avtakende på \(D_f\) (monoton).

Den blå delen av grafen til \(f\), og den røde delen av grafen til \(f\), har hver sin del av definisjonsmengden der \(f\) har en omvendt funksjon \(f^{-1}\).

Funksjoner med delt forskrift:

For en funksjon \(f\) med delt forskrift, har den en omvendt funksjon hvis

• \(f\) er 1-til-1 (også kalt én-entydig). For hver \(y\)-verdi finnes det bare én \(x\)-verdi slik at \(f(x) = y\).

• Grafen til \(f\) har bare ett skjæringspunkt med alle linjer \(y = k\).