4. Oppgavesamling

Oppgave 1

Skriv så enkelt som mulig.

a

\[ \dfrac{a^2 \cdot (2a^{-1} b^2)^2}{2^{-1} a^{-1} b^2} \]

Fasit

\[ 8ab^2 \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{a^2 \cdot (2a^{-1} b^2)^2}{2^{-1} a^{-1} b^2} &= \dfrac{a^2 \cdot 2^2 \cdot a^{-2} \cdot b^4}{2^{-1} \cdot a^{-1} \cdot b^2} \\ \\ &= 2^{2 - (-1)} \cdot a^{2 - 2 - (-1)} \cdot b^{4 - 2} \\ \\ &= 2^3 \cdot a^1 \cdot b^2 \\ \\ &= 8ab^2 \end{align*}\]

b

\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} \]

Fasit

\[ 8 \]

Løsning

\[\begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} &= 2^{1/2} \cdot 2^{3/2} \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/3} \\ \\ &= 2^{1/2 + 3/2 + 2/3 + 1/3} \\ \\ &= 2^{4/2 + 3/3} \\ \\ &= 2^{2 + 1} \\ \\ &= 2^3 \\ \\ &= 8 \end{align*}\]

c

\[ \dfrac{a^2 \cdot (a^2)^3}{(a^{-2} \cdot a^{-1})^3} \]

Fasit

\[ a^{17} \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{a^2 \cdot (a^2)^3}{(a^{-2} \cdot a^{-1})^3} &= \dfrac{a^2 \cdot a^6}{a^{-6} \cdot a^{-3}} \\ \\ &= a^{2 + 6 - (-6) - (-3)} \\ \\ &= a^{2 + 6 + 6 + 3} \\ \\ &= a^{17} \end{align*}\]

d

\[ \dfrac{3b^2 \cdot 36a^3 \cdot 9(ab)^3}{12 (a^2b)^2} \]

Fasit

\[ 81a^2b^3 \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{3b^2 \cdot 36a^3 \cdot 9(ab)^3}{12 (a^2b)^2} &= \dfrac{3 \cdot 36 \cdot 9}{12} \cdot \dfrac{b^2 \cdot a^3 \cdot (ab)^3}{(a^2b)^2} \\ \\ &= \dfrac{3 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 9}{12} \cdot \dfrac{b^2 \cdot a^3 \cdot a^3 \cdot b^3}{a^4 \cdot b^2} \\ \\ &= 3 \cdot 3 \cdot 9 \cdot a^{3 + 3 - 4} \cdot b^{2 + 3 - 2} \\ \\ &= 81a^2b^3 \end{align*}\]

e

\[ \dfrac{\sqrt[3]{a^2 b} \cdot \sqrt{ab^3} \cdot \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a}} \]

Fasit

\[ ab^2 \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{\sqrt[3]{a^2 b} \cdot \sqrt{ab^3} \cdot \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a}} &= \dfrac{a^{2/3} \cdot b^{1/3} \cdot a^{1/2} \cdot b^{3/2} \cdot b^{1/6}}{a^{1/6}} \\ \\ &= a^{2/3 + 1/2 - 1/6} \cdot b^{1/3 + 3/2 + 1/6} \\ \\ &= a^{4/6 + 3/6 - 1/6} \cdot b^{2/6 + 9/6 + 1/6} \\ \\ &= a^{6/6} \cdot b^{12/6} \\ \\ &= ab^2 \end{align*}\]

---

Oppgave 2

a

Sorter i stigende rekkefølge.

\[ \lg 100 \qquad \lg 10 \qquad \lg \dfrac{1}{100} \qquad \lg 0.1 \qquad \lg \sqrt{10} \qquad \lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}} \]

Fasit

1. \(\lg \dfrac{1}{100}\)

2. \(\lg 0.1\)

3. \(\lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}}\)

4. \(\lg \sqrt{10}\)

5. \(\lg 10\)

6. \(\lg 100\)

Løsning

Vi regner ut verdien til alle logaritmene:

\[\begin{align*} \lg 100 &= \lg 10^2 = 2 \\ \\ \lg 10 &= 1 \\ \\ \lg \dfrac{1}{100} &= \lg \dfrac{1}{10^2} = \lg 10^{-2} = -2 \\ \\ \lg 0.1 &= \lg 10^{-1} = -1 \\ \\ \lg \sqrt{10} &= \lg 10^{1/2} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}} &= \lg \left( 10^{-1} \right)^{1/3} = \lg 10^{-1/3} = -\dfrac{1}{3} \end{align*}\]

Dermed vil de stå i stigende rekkefølge som følger:

1. \(\lg \dfrac{1}{100}\)

2. \(\lg 0.1\)

3. \(\lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}}\)

4. \(\lg \sqrt{10}\)

5. \(\lg 10\)

6. \(\lg 100\)

b

Sorter i stigende rekkefølge.

\[ \ln e^2 \qquad \ln \sqrt{e} \qquad \ln \dfrac{1}{e} \qquad \ln \dfrac{1}{e^2} \qquad \ln \sqrt[4]{e^3} \qquad e^{\ln 5} \]

Fasit

1. \(\ln \dfrac{1}{e^2}\)

2. \(\ln \dfrac{1}{e}\)

3. \(\ln \sqrt{e}\)

4. \(\ln \sqrt[4]{e^3}\)

5. \(\ln e^2\)

6. \(e^{\ln 5}\)

Løsning

Vi regner ut verdien til alle logaritmene:

\[\begin{align*} \ln e^2 &= 2 \\ \\ \ln \sqrt{e} &= \ln e^{1/2} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \ln \dfrac{1}{e} &= \ln e^{-1} = -1 \\ \\ \ln \dfrac{1}{e^2} &= \ln e^{-2} = -2 \\ \\ \ln \sqrt[4]{e^3} &= \ln (e^3)^{1/4} = \ln e^{3/4} = \dfrac{3}{4} \\ \\ e^{\ln 5} &= 5 \end{align*}\]

Dermed vil de stå i stigende rekkefølge som følger:

1. \(\ln \dfrac{1}{e^2}\)

2. \(\ln \dfrac{1}{e}\)

3. \(\ln \sqrt{e}\)

4. \(\ln \sqrt[4]{e^3}\)

5. \(\ln e^2\)

6. \(e^{\ln 5}\)

c

Hvilke av tallene nedenfor er mindre enn \(10\)?

\[ 3 \sqrt{11} \qquad 10 \lg 9 \qquad 5 \ln 9 \]

Fasit

\(3 \sqrt{11}\) og \(10 \lg 9\) er mindre enn \(10\).

\(5 \ln 9\) er ikke mindre enn \(10\).

Løsning

Vi sjekker hver av tallene:

\[ 3 \sqrt{11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{99} < \sqrt{100} = 10 \]

\[ 10 \lg 9 < 10 \lg 10 = 10 \cdot 1 = 10 \]

\[ 5 \ln 9 > 5 \ln e^2 = 5 \cdot 2 = 10 \]

Dermed er \(3 \sqrt{11}\) og \(10 \lg 9\) mindre enn \(10\), mens \(5 \ln 9\) ikke er det.

---

Oppgave 3

Løs likningene.

a

\[ 2 \cdot 6^x = 8 \cdot 3^x \]

Fasit

\[ x = 2 \]

Løsning

\[ 2 \cdot 6^x = 8 \cdot 3^x \]

\[ \ln (2 \cdot 6^x) = \ln (8 \cdot 3^x) \]

\[ \ln 2 + \ln 6^x = \ln 8 + \ln 3^x \]

\[ \ln 2 + x \ln 6 = \ln 8 + x \ln 3 \]

\[ x \ln 6 - x \ln 3 = \ln 8 - \ln 2 \]

\[ x (\ln 6 - \ln 3) = \ln \dfrac{8}{2} \]

\[ x \ln \dfrac{6}{3} = \ln 4 \]

\[ x \ln 2 = \ln 4 \]

\[ x = \dfrac{\ln 4}{\ln 2} = \dfrac{\ln 2^2}{\ln 2} = \dfrac{2 \ln 2}{\ln 2} = 2 \]

b

\[ 2^{4x - 1} = 1 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{4} \]

Løsning

\[ 2^{4x - 1} = 1 \]

\[ \log_2 (2^{4x - 1}) = \log_2 (1) \]

\[ (4x - 1) \log_2 (2) = \log_2 (1) \]

\[ (4x - 1) \cdot 1 = 0 \]

\[ 4x - 1 = 0 \]

\[ 4x = 1 \]

\[ x = \dfrac{1}{4} \]

c

\[ 3\cdot 5^x = 4 \cdot 3^x \]

Fasit

\[ x = \dfrac{\ln \frac{3}{4}}{\ln \frac{3}{5}} = \dfrac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 3 - \ln 5} \]

Løsning

\[ 3\cdot 5^x = 4 \cdot 3^x \]

\[ \ln (3 \cdot 5^x) = \ln (4 \cdot 3^x) \]

\[ \ln 3 + \ln 5^x = \ln 4 + \ln 3^x \]

\[ \ln 3 + x \ln 5 = \ln 4 + x \ln 3 \]

\[ \ln 3 - \ln 4 = x \ln 3 - x \ln 5 \]

\[ \ln 3 - \ln 4 = x (\ln 3 - \ln 5) \]

\[ \ln \dfrac{3}{4} = x \ln \dfrac{3}{5} \]

\[ x = \dfrac{\ln \frac{3}{4}}{\ln \frac{3}{5}} = \dfrac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 3 - \ln 5} \]

d

\[ e^{2x} - 4e^x + 3 = 0 \]

Fasit

\[ x = 0 \or x = \ln 3 \]

Løsning

Vi gjør variabelskifte \(u = e^x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 - 4u + 3 = 0 \]

Vi bruker \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \]

Altså er

\[\begin{split} u = 2 \pm 1 = \begin{cases} 3 \\ 1 \end{cases} \end{split}\]

Det betyr at

\[ u = 1 \or u = 3 \]

\[ e^x = 1 \or e^x = 3 \]

\[ x = \ln 1 \or x = \ln 3 \]

\[ x = 0 \or x = \ln 3 \]

---

Oppgave 4

Løs likningene.

a

\[ 10 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{\lg 2}{\lg 3 - \lg 2} \]

Løsning

\[ 10 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x \]

\[ \lg (10 \cdot 3^x) = \lg (5 \cdot 2^x) \]

\[ \lg 10 + \lg 3^x = \lg 5 + \lg 2^x \]

\[ x \lg 3 - x \lg 2 = \lg 5 - \lg 10 \]

\[ x (\lg 3 - \lg 2) = \lg \dfrac{5}{10} \]

\[ x \lg \dfrac{3}{2} = \lg \dfrac{1}{2} \]

\[ x = \dfrac{\lg \frac{1}{2}}{\lg \frac{3}{2}} = \dfrac{\lg 1 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 2} = -\dfrac{\lg 2}{\lg 3 - \lg 2} \]

b

\[ \lg x^2 = 3 \lg x + 4 \]

Fasit

\[ x = 10^{-4} \]

Løsning

\[ \lg x^2 = 3 \lg x + 4 \]

\[ 2 \lg x = 3 \lg x + 4 \]

\[ - \lg x = 4 \]

\[ \lg x = -4 \]

\[ x = 10^{-4} \]

c

\[ (\lg x)^2 = 3 \lg x + 4 \]

Fasit

\[ x = 10^4 \or x = 10^{-1} \]

Løsning

Vi gjør variabelskifte \(u = \lg x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 = 3u + 4 \]

\[ u^2 - 3u - 4 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \]

Det gir

\[ u = 4 \or u = -1 \]

som betyr at

\[ \lg x = 4 \or \lg x = -1 \]

som betyr at

\[ x = 10^4 \or x = 10^{-1} \]

d

\[ 2 \cdot 6^x = 18 \cdot 2^x \]

Fasit

\[ x = 2 \]

Løsning

\[ 2 \cdot 6^x = 18 \cdot 2^x \]

\[ \ln (2 \cdot 6^x) = \ln (18 \cdot 2^x) \]

\[ \ln 2 + \ln 6^x = \ln 18 + \ln 2^x \]

\[ \ln 2 + x \ln 6 = \ln 18 + x \ln 2 \]

\[ x \ln 6 - x \ln 2 = \ln 18 - \ln 2 \]

\[ x (\ln 6 - \ln 2) = \ln \dfrac{18}{2} \]

\[ x \ln \dfrac{6}{2} = \ln 9 \]

\[ x \ln 3 = \ln 9 \]

\[ x = \dfrac{\ln 9}{\ln 3} = \dfrac{\ln 3^2}{\ln 3} = \dfrac{2 \ln 3}{\ln 3} = 2 \]

---

Oppgave 5

Løs likningene.

a

\[ \lg (x^2 - 3) = \lg (2x) \]

Fasit

\[ x = 3 \]

Løsning

\[ \lg (x^2 - 3) = \lg (2x) \]

\[ x^2 - 3 = 2x \]

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]

\[ x = 3 \or x = -1 \]

Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For \(x = -1\), så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med \(x = 3\) siden \(x^2 - 3 > 0\) og \(2x > 0\) når \(x = 3\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ x = 3 \]

b

\[ (\lg x)^2 = 4 - 3 \lg x \]

Fasit

\[ x = 10 \or x = 10^{-4} \]

Løsning

Vi gjør variabelskifte \(u = \lg x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 = 4 - 3u \]

\[ u^2 + 3u - 4 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2} \]

Det gir

\[ u = 1 \or u = -4 \]

som betyr at

\[ \lg x = 1 \or \lg x = -4 \]

som betyr at

\[ x = 10 \or x = 10^{-4} \]

c

\[ \lg (2x - 3) - \lg x = 0 \]

Fasit

\[ x = 3 \]

Løsning

\[ \lg (2x - 3) - \lg x = 0 \]

\[ \lg (2x - 3) = \lg x \]

\[ 2x - 3 = x \]

\[ x = 3 \]

d

\[ 10^{\lg 6 + 3x} - 4 = 56 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{3} \]

Løsning

\[ 10^{\lg 6 + 3x} - 4 = 56 \]

\[ 10^{\lg 6 + 3x} = 60 \]

\[ \lg 6 + 3x = \lg 60 \]

\[ 3x = \lg 60 - \lg 6 \]

\[ 3x = \lg \dfrac{60}{6} \]

\[ 3x = \lg 10 \]

\[ 3x = 1 \]

\[ x = \dfrac{1}{3} \]

---

Oppgave 6

Løs likningene.

a

\[ \ln (x^2 + 2) - \ln x = \ln 3 \]

Fasit

\[ x = 2 \or x = 1 \]

Løsning

\[ \ln (x^2 + 2) - \ln x = \ln 3 \]

\[ \ln (x^2 + 2) = \ln 3 + \ln x \]

\[ \ln (x^2 + 2) = \ln (3x) \]

\[ x^2 + 2 = 3x \]

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

\[ x = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \dfrac{3 \pm 1}{2} \]

\[ x = 2 \or x = 1 \]

Begge løsningene oppfyller den opprinnelige likningen siden \(x^2 + 2 > 0\) og \(x > 0\) når \(x = 1\) eller \(x = 2\). Dermed er begge løsningene gyldige

b

\[ \ln (x + 1) + \ln (x - 2) = \ln (x - 3) \]

Fasit

\[ x \in \emptyset \]

Løsning

\[ \ln (x + 1) + \ln (x - 2) = \ln (x - 3) \]

\[ \ln ((x + 1)(x - 2)) = \ln (x - 3) \]

\[ (x + 1)(x - 2) = x - 3 \]

\[ x^2 - x - 2 = x - 3 \]

\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 = 0 \]

\[ x = 1 \]

Vi må sjekke om løsningen er gyldig. For \(x = 1\), vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall i to av leddene som opptrer i den opprinnelige likningen. Dermed har ikke likningen noen løsning. Altså er

\[ x \in \emptyset \]

c

\[ 100^x + 4 \cdot 10^x = 5 \]

Fasit

\[ x = 0 \]

Løsning

\[ 100^x + 4 \cdot 10^x = 5 \]

\[ (10^x)^2 + 4 \cdot 10^x - 5 = 0 \]

Vi gjør variabelskifte \(u = 10^x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 + 4u - 5 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ u = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \]

\[ u = 1 \or u = -5 \]

\[ 10^x = 1 \or 10^x = -5 \]

Det vil ikke være mulig å tilfredsstille \(10^x = -5\) siden \(10^x > 0\) for alle \(x\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ 10^x = 1 \liff x = 0 \]

d

\[ 4^x + 4\cdot 2^x = 12 \]

Fasit

\[ x = 1 \]

Løsning

\[ 4^x + 4\cdot 2^x = 12 \]

\[ (2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 12 = 0 \]

Vi gjør variabelskifte \(u = 2^x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 + 4u - 12 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} \]

\[ u = \dfrac{-4 \pm 8}{2} \]

\[ u = 2 \or u = -6 \]

\[ 2^x = 2 \or 2^x = -6 \]

Det vil ikke være mulig å tilfredsstille \(2^x = -6\) siden \(2^x > 0\) for alle \(x\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ 2^x = 2 \liff x = 1 \]

---

Oppgave 7

Grafen til funksjonen \(f(x) = 10^x\) er vist i figuren nedenfor.

a

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\lg 3\).

Fasit

\[ \lg 3 \approx 0.5 \]

b

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\lg 8\).

Fasit

\[ \lg 8 \approx 0.9 \]

c

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\lg 5\).

Fasit

\[ \lg 5 \approx 0.7 \]

d

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\lg 40\).

Fasit

\[ \lg 40 \approx 1.6 \]

---

Oppgave 8

I figuren nedenfor vises grafen til \(f(x) = e^x\).

a

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\ln 2\).

Fasit

\[ \ln 2 \approx 0.7 \]

b

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\ln 3\)

Fasit

\[ \ln 3 \approx 1.1 \]

c

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen \(e^x = 6\).

Fasit

\[ x \approx 1.8 \]

d

Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen \(e^x = 24\).

Fasit

\[ x \approx 3.2 \]

---

Oppgave 9

a

I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \log_a(x) \]

Bestem \(a\).

Fasit

\[ a = 5 \]

Løsning

Vi bruker at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((5, 1)\) som betyr at

\[ f(5) = 1 \liff \log_a(5) = 1 \liff a^1 = 5 \liff a = 5 \]

Dermed er \(a = 5\).

b

I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon

\[ f(x) = \log_a(x) \cdot (\log_a(x) - 1) \]

Bestem \(a\).

Fasit

\[ a = 3 \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((1, 0)\) og \((3, 0)\). Videre kan vi se at

\[ f(x) = 0 \liff \log_a(x) \cdot (\log_a(x) - 1) = 0 \]

Bruker vi produktregelen for likninger får vi at

\[ \log_a(x) = 0 \or \log_a(x) - 1 = 0 \]

\[ \log_a(x) = 0 \or \log_a(x) = 1 \]

\[ a^0 = x \or a^1 = x \]

\[ 1 = x \or a = x \]

Siden grafen til \(f\) skjærer gjennom \((3, 0)\) så vil en av løsningene måtte være \(x = 3\) som betyr at vi kan konkludere at \(a = 3\).

c

I figuren nedenfor vises grafen til

\[ f(x) = -(\log_a(x) - 2) \cdot (\log_a(x) - 4) \]

Bestem \(a\).

Fasit

\[ a = 2 \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((4, 0)\) og \((16, 0)\). Løser vi likningen \(f(x) = 0\), får vi

\[ f(x) = 0 \liff -(\log_a(x) - 2) \cdot (\log_a(x) - 4) = 0 \]

Bruker vi produktregelen for likninger får vi at

\[ -(\log_a(x) - 2) = 0 \or (\log_a(x) - 4) = 0 \]

\[ \log_a(x) = 2 \or \log_a(x) = 4 \]

\[ a^2 = x \or a^4 = x \]

Siden grafen skjærer gjennom \((4, 0)\) og \((16, 0)\), kan vi først undersøke hva vi får med \(x = 4\):

\[ a^2 = 4 \or a^4 = 4 \]

\[ a = \pm 2 \or a = 4^{1/4} = \sqrt{2} \]

Vi må forkaste \(a = -2\) siden grunntallet til en logaritme må være positivt.

Så undersøker vi hva vi får med \(x = 16\):

\[ a^2 = 16 \or a^4 = 16 \]

\[ a = \pm 4 \or a = 16^{1/4} = 2 \]

Vi må forkaste \(a = -4\) siden grunntallet til en logaritme må være positivt.

Vi får derfor tre muligheter for \(a\):

\[ a = 2 \or a = \sqrt{2} \or a = 4 \]

Men fordi grafen til \(f\) må skjære \(x\)-aksen i både \((4, 0)\) og \((16, 0)\), så må vi velge den verdien for \(a\) som dukker opp både med \(x = 4\) og \(x = 16\). Det eneste tallet som oppfyller dette er \(a = 2\). Dermed er \(a = 2\).

---

Oppgave 10

Løs likningene.

a

\[ e^{2x} - e^x = 2 \]

Fasit

\[ x = \ln 2 \]

Løsning

Vi skriver om likningen til

\[ e^{2x} - e^x - 2 = 0 \]

Vi gjør variabelskifte \(u = e^x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 - u - 2 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ u = \dfrac{1 \pm 3}{2} \]

\[ u = 2 \or u = -1 \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ e^x = 2 \or e^x = -1 \]

Det vil ikke være mulig å tilfredsstille \(e^x = -1\) siden \(e^x > 0\) for alle \(x\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ e^x = 2 \liff x = \ln 2 \]

b

\[ (\ln x)^2 - \ln x = 6 \]

Fasit

\[ x = e^3 \or x = e^{-2} \]

Løsning

Vi skriver om likningen til

\[ (\ln x)^2 - \ln x - 6 = 0 \]

Vi gjør variabelskifte \(u = \ln x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 - u - 6 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ u = \dfrac{1 \pm 5}{2} \]

\[ u = 3 \or u = -2 \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ \ln x = 3 \or \ln x = -2 \]

\[ x = e^3 \or x = e^{-2} \]

c

\[ 3^{3x + 2} - 5 = 76 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{2}{3} \]

Løsning

Vi forenkler likningen litt først:

\[ 3^{3x + 2} = 81 \]

Så bruker vi logaritme på begge sider:

\[ \ln (3^{3x + 2}) = \ln 81 \]

\[ (3x + 2) \ln 3 = \ln 81 \]

\[ 3x + 2 = \dfrac{\ln 81}{\ln 3} \]

Vi kan skrive \(81 = 3^4\), så

\[ 3x + 2 = \dfrac{\ln 3^4}{\ln 3} = \dfrac{4 \ln 3}{\ln 3} = 4 \]

Dermed får vi

\[ 3x + 2 = 4 \]

\[ 3x = 2 \]

\[ x = \dfrac{2}{3} \]

d

\[ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 2 \]

Fasit

\[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]

Løsning

Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme:

\[ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 2 \]

\[ 3 \lg x + 2 \cdot 2 \lg x + \lg x^{-9} = 2 \]

\[ 3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 \]

\[ -2 \lg x = 2 \]

\[ \lg x = -1 \]

\[ x = 10^{-1} \]

e

Løs likningen

\[ 100^x - 3\cdot 10^x = 4 \]

Løsning

Siden \(100 = 10^2\), kan vi skrive om likningen til

\[ 10^{2x} - 3\cdot 10^x = 4 \]

Vi gjør variabelskifte \(u = 10^x\) som gir oss likningen

\[ u^2 - 3u = 4 \liff u^2 - 3u - 4 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen til å bestemme \(u\)

\[ u = \dfrac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \]

\[ u = 4 \or u = -2 \]

Så setter vi definisjonen av \(u\) tilbake i likningene:

\[ 10^x = 4 \or 10^x = -2 \]

Vi kan ikke opphøye \(10\) i noe for å få et negativt tall, så \(10^x = -2\) har ingen løsning. Det betyr at løsningen av likningen bare kan være

\[ 10^x = 4 \liff x = lg(4) \]

---

Oppgave 11

a

Løs likningen

\[ \log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3 \]

Fasit

\[ x = 2 \]

Løsning

Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme:

\[ \log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3 \]

\[ \log_2((x + 2)x) = 3 \]

\[ \log_2(x^2 + 2x) = 3 \]

Så bruker vi at \(\log_2 a = b \liff 2^b = a\):

\[ x^2 + 2x = 2^3 \]

\[ x^2 + 2x = 8 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Nå bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ x = \dfrac{-2 \pm 6}{2} \]

\[ x = 2 \or x = -4 \]

Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For \(x = -4\), så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med \(x = 2\) siden \(x + 2 > 0\) og \(x > 0\) når \(x = 2\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ x = 2 \]

b

Løs likningen

\[ (\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x - 5 = 0 \]

Fasit

\[ x = 3^5 \or x = \dfrac{1}{3} \]

Løsning

Vi gjør variabelskifte \(u = \log_3 x\). Da kan likningen skrives om til andregradslikningen

\[ u^2 - 4u - 5 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ u = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ u = \dfrac{4 \pm 6}{2} \]

\[ u = 5 \or u = -1 \]

Nå setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ \log_3 x = 5 \or \log_3 x = -1 \]

Så bruker vi at \(\log_3 a = b \liff 3^b = a\):

\[ x = 3^5 \or x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \]

c

Løs likningen

\[ \log_5 (x - 2) + \log_5 (x + 2) = 1 \]

Fasit

\[ x = 3 \]

Løsning

Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme:

\[ \log_5 (x - 2) + \log_5 (x + 2) = 1 \]

\[ \log_5 ((x - 2)(x + 2)) = 1 \]

\[ \log_5 (x^2 - 4) = 1 \]

\[ x^2 - 4 = 5^1 \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = 3 \or x = -3 \]

Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For \(x = -3\), så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med \(x = 3\) siden \(x - 2 > 0\) og \(x + 2 > 0\) når \(x = 3\). Dermed er den eneste gyldige løsningen

\[ x = 3 \]

d

Løs likningen.

\[ \log_x (2x + 8) = 2 \]

Fasit

\[ x = 4 \]

Løsning

Vi bruker at \(\log_a b = c \liff a^c = b\):

\[ \log_x (2x + 8) = 2 \]

\[ x^2 = 2x + 8 \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Nå bruker vi \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ x = \dfrac{2 \pm 6}{2} \]

\[ x = 4 \or x = -2 \]

Vi kan ikke bruke \(x = -2\) som et grunntall for logaritmen, som betyr at den eneste gyldige løsningen er

\[ x = 4 \]

---

Oppgave 12

Newtons avkjølingslov sier at for temperaturen \(T \, \degree \mathrm{C}\) til en gjenstand som avkjøles i et rom med temperatur \(T_0 \, \degree \mathrm{C}\), så vil temperaturen til gjenstanden etter \(t\) minutter oppfylle likningen

\[ \ln(T - T_0) = -k\cdot t + r \]

der \(k\) og \(r\) er konstanter som avhenger av gjenstanden og rommet.

En kaffekopp fylles opp med kaffe som har en temperatur på \(100 \degree \mathrm{C}\), og settes i et rom med temperatur \(20 \degree \mathrm{C}\). Etter \(10\) minutter er temperaturen til kaffen \(60 \degree \mathrm{C}\).

Bestem hvor lang tid det tar før temperaturen til kaffen er \(40 \, \degree \mathrm{C}\).

Hint

Bestem verdiene til \(k\) og \(r\) først! Husk å regne eksakt!

Fasit

20 minutter.

Løsning

Siden romtemperaturen er \(20 \degree \mathrm{C}\), så er \(T_0 = 20\). Vi starter med å bestemme konstanten \(r\) ved å bruke at når \(t = 0\), så er \(T = 100\):

\[ \ln(100 - 20) = -k \cdot 0 + r = r \]

som gir

\[ r = \ln 80 \]

Etter \(t = 10\) minutter, så er temperaturen \(T = 60\). Vi bruker dette til å bestemme konstanten \(k\):

\[ \ln(60 - 20) = -k \cdot 10 + \ln 80 \]

\[ \ln 40 = -10k + \ln 80 \]

\[ 10k = \ln 80 - \ln 40 = \ln \dfrac{80}{40} = \ln 2 \]

\[ k = \dfrac{\ln 2}{10} \]

Deretter bruker vi dette til å bestemme hvor lang tid det tar før temperaturen er \(T = 40\):

\[ \ln(40 - 20) = -\dfrac{\ln 2}{10} \cdot t + \ln 80 \]

\[ \ln 20 = -\dfrac{\ln 2}{10} \cdot t + \ln 80 \]

\[ \dfrac{\ln 2}{10} \cdot t = \ln 80 - \ln 20 = \ln \dfrac{80}{20} = \ln 4 \]

\[ t = \dfrac{10 \ln 4}{\ln 2} = 10 \cdot \dfrac{\ln 2^2}{\ln 2} = 10 \cdot \dfrac{2 \ln 2}{\ln 2} = 20 \]

Altså tar det \(20\) minutter før temperaturen til kaffen er \(40 \degree \mathrm{C}\).

---

Oppgave 13

Avgjør om påstandene er riktig.

a

Hvis \(x > 0\), så er \((\ln x)^4 = 4 \ln x\).

Fasit

Påstanden er usann.

Løsning

Generelt sett er

\[ (\ln x)^4 \neq \ln x^4 = 4 \ln x \]

Dermed er påstanden usann.

b

Hvis \(x > 0\) og \(y > 0\), så er \(\ln(x + y) = \ln x + \ln y\).

Fasit

Påstanden er usann.

Løsning

Generelt er

\[ \ln x + \ln y = \ln (xy) \]

Siden vi også vet at

\[ \ln a = \ln b \liff a = b \]

så ville \(\ln(x + y) = \ln x + \ln y\) også bety at

\[ \ln (x + y) = \ln (xy) \liff x + y = xy \]

Men for alle tall \(x > 0\) og \(y > 0\) så vil ikke \(x + y = xy\) være sant. Et konkret moteksempel vil være \(x = 1\) og \(y = 2\). Da har vi

\[ 1 + 2 \neq 1 \cdot 2 \]

Dermed må påstanden være usann.

c

Hvis \(x > 0\), så er \(\ln x^3 = 3 \ln x\).

Fasit

Påstanden er sann.

Løsning

Generelt, så gjelder

\[ \ln x^b = b \ln x \]

så lenge \(x > 0\). Her har vi \(b = 3\), så påstanden er sann.

d

Hvis \(x > 0\) og \(y > 0\), så er

\[ \ln\dfrac{x}{y} = -\ln\dfrac{y}{x} \]

Fasit

Påstanden er sann.

Løsning

Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden:

\[ \ln\dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y = -(\ln y - \ln x) = -\ln\dfrac{y}{x} \]

Dermed er påstanden sann.

---

Oppgave 14

Anna jobber med likningen

\[ (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 3 = 0 \]

Hun har gjort et variabelskifte \(u = \log_2 x\) og definert funksjonene

\[ f(u) = u^2 - 4u + 3 \qog u(x) = \log_2 x \]

Så har hun tegnet grafene til de to funksjonene i to koordinatssystemer som vist nedenfor.

Bruk figurene til å løse likningen til Anna grafisk.

Fasit

\[ x = 2 \or x = 8 \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(u\)-aksen når \(u = 1\) og \(u = 3\). Ser vi grafen til \(u(x) = \log_2 x\) ser vi at grafen til \(u\) skjærer linja \(y = 1\) når \(x = 2\) og linja \(y = 3\) når \(x = 8\). Dermed er løsningene til likningen

\[ x = 2 \or x = 8 \]

---

Oppgave 15

a

Grafen til \(f(x) = e^x\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen

\[ \ln x = 0.4 \]

Fasit

\[ x \approx 1.5 \]

b

Grafen til \(f(x) = e^x\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen

\[ \ln x = \dfrac{11}{10} \]

Fasit

\[ x \approx 3 \]

c

Grafen til \(f(x) = 10^x\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen

\[ \lg x = 0.7 \]

Fasit

\[ x \approx 5 \]

d

Grafen til \(f(x) = 10^x\) er vist i figuren nedenfor.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen

\[ \lg x = \dfrac{3}{10} \]

Fasit

\[ x \approx 2 \]

---

Oppgave 16

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (\log_2 x)^3 - 8 (\log_2 x)^2 + 19 \log_2 x - 12 \]

Programmet nedenfor regner ut noe.

a

Bruk programmet ovenfor og bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ u^3 - 8u^2 + 19u - 12 = (u - a)(u - b)(u - c) \]

Fasit

\[ a = 1 \and b = 3 \and c = 4 \]

b

Løs likningen \(f(x) = 0\).

Fasit

\[ x = 2 \or x = 8 \or x = 16 \]