10. Produktregelen#
Læringsmål
Kunne bruke produktregelen til å derivere produkter av funksjoner.
Produktregelen
La en funksjon \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\). Da er
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
Vi skriver dette mer kompakt som
\[
(uv)' = u'v + uv'
\]
Eksempel 1
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = x \cdot e^x
\]
Bestem \(f'(x)\).
Løsning
Funksjonen \(f(x) = x \cdot e^x\) der
\[
u(x) = x \qog v(x) = e^x.
\]
Produktregelen for derivasjon gir da at
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x.
\]
Underveisoppgave 1
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = x \cdot \ln x.
\]
Bestem \(f'(x)\).
Fasit
\[
f'(x) = \ln x + 1
\]
Løsning
\[
f'(x) = x' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1
\]
I blant må vi kombinere produktregelen med kjerneregelen.
Eksempel 2
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = x \sqrt{x - 1}.
\]
Bestem \(f'(x)\).
Løsning
\[\begin{split}
\begin{align*}
f'(x) &= x' \cdot \sqrt{x - 1} + x \cdot (\sqrt{x - 1})' \\
\\
&= 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \\
\\
&= \sqrt{x - 1} + \frac{x}{2\sqrt{x - 1}} \\
\\
&= \frac{2(x - 1) + x}{2\sqrt{x - 1}} \\
\\
&= \frac{3x - 2}{2\sqrt{x - 1}}
\end{align*}
\end{split}\]
Underveisoppgave 2
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x.
\]
Bestem \(f'(x)\).
Fasit
\[
f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}
\]
Løsning
\[\begin{split}
\begin{align*}
f'(x) &= (\sqrt{x})' \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot (\ln x)' \\
\\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \\
\\
&= \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\\
&= \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}
\end{align*}
\end{split}\]