13. Derivasjon og omvendte funksjoner

Læringsmål

• Kunne avgjøre om en funksjon har en omvendt funksjon ved hjelp av derivasjon, og bruke dette til å bestemme egenskaper ved funksjonen og dens omvendte funksjon.

• Kunne bestemme den deriverte av en omvendt funksjon.

• Kunne bruke digitale hjelpemidler til å bestemme den deriverte av en omvendt funksjon i et punkt.

Eksistens av omvendte funksjoner og derivasjon

Hvis vi ikke har grafen til \(f\), kan vi bruke den deriverte \(f'(x)\) til å avgjøre om \(f\) er en monoton funksjon og dermed om den har en omvendt funksjon.

Monotone funksjoner og den deriverte

En tilstrekkelig betingelse for at en funksjon \(f\) er monoton i sin definisjonsmengde, er at den deriverte \(f'(x)\) har samme fortegn for alle \(x\) i definisjonsmengden til \(f\).

• Hvis \(f'(x) > 0\) for alle \(x\) i definisjonsmengden til \(f\), så er \(f\) strengt voksende.

• Hvis \(f'(x) < 0\) for alle \(x\) i definisjonsmengden til \(f\), så er \(f\) strengt avtakende.

Vi kan også tillate at \(f'(x) = 0\) for enkelte verdier så lenge \(f'(x)\) ikke bytter fortegn der.

---

Eksempel 1

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 12x + 2 \qder D_f = \langle -2, 2 \rangle. \]

Avgjør om \(f\) har en omvendt funksjon.

Løsning

Vi starter med å undersøke om \(f\) er en monoton funksjon i definisjonsmengden sin. For å gjøre dette, tegner vi en fortegnslinje for \(f'(x)\).

Vi starter med å løse \(f'(x) = 0\) så vi kan faktorisere uttrykket:

\[ f'(x) = 3x^2 - 12 \limplies 3x^2 - 12 = 0 \limplies x^2 = 4 \limplies x = \pm 2 \]

\[ f'(x) = 0\limplies 3x^2 - 12 = 0 \]

\[ 3x^2 = 12 \limplies x^2 = 4 \limplies x = \pm 2 \]

Altså kan vi faktorisere \(f'(x)\) slik:

\[ f'(x) = 3(x + 2)(x - 2) \]

Så tegner vi et fortegnsskjema for den deriverte:

Vi ser at \(f'(x) < 0\) for alle \(x \in \langle -2, 2 \rangle\). Dermed er \(f\) strengt avtakende i definisjonsmengden sin, og vi kan konkludere med at \(f\) har en omvendt funksjon.

---

Underveisoppgave 1

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x + 1 \qder D_f = [1, \to\rangle. \]

Avgjør om \(f\) har en omvendt funksjon.

Løsning

Vi må undersøke om \(f\) er strengt voksende eller avtakende i definisjonsmengden sin. For å gjøre dette, tegner vi en fortegnslinje for \(f'(x)\).

Den deriverte er

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

Vi starter med å løse \(f'(x) = 0\) så vi kan faktorisere uttrykket:

\[ f'(x) = 0 \limplies 3x^2 - 3 = 0 \limplies x^2 = 1 \limplies x = \pm 1 \]

Altså kan vi faktorisere \(f'(x)\) slik:

\[ f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) \]

Så tegner vi et fortegnsskjema for den deriverte:

Vi kan se at \(f'(x) > 0\) for alle \(x \in \langle 1, \to\rangle\) og at \(f'(1) = 0\). Dette betyr at \(f\) er strengt voksende i definisjonsmengden sin og dermed har \(f\) en omvendt funksjon.

---

I en del tilfeller, så ønsker vi å bestemme en definisjonsmengde for en funksjon slik at den har en omvendt funksjon. Da bruker vi også den deriverte til å finne en passende definisjonsmengde.

Eksempel 2

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = xe^{-x} \qder D_f = [0, a] \]

for et tall \(a > 0\).

1. Bestem hvilken verdi av \(a\) som gjør at \(f\) har en omvendt funksjon i en så stor definisjonsmengde som mulig.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

Løsning

Vi bestemmer først den deriverte (med produktregelen):

\[ f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x} \]

Deretter skal vi undersøke fortegnet til \(f'(x)\). Vi trenger nullpunktene til \(f'\) så vi kan tegne et fortegnsskjema:

\[ f'(x) = 0 \limplies (1 - x)e^{-x} = 0 \limplies x = 1 \]

Så tegner vi et fortegnsskjema:

Fra fortegnsskjema ser vi at \(f'\) er strengt voksende når \(x \leq 1\). Deretter endrer \(f'(x)\) fortegn. Siden definisjonsmengden skal være på formen \(D_f = [0, a]\), så vil den verdien av \(a\) som både sikrer at \(f\) har en omvendt funksjon, og som gir størst mulig definisjonsmengde, være \(a = 1\).

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen vil være lik verdimengden til \(f\) på \(D_f = [0, 1]\). Siden funksjonen er strengt voksende, så holder å regne ut \(f(0)\) og \(f(1)\) for å finne verdimengden:

\[ f(0) = 0 \qog f(1) = \dfrac{1}{e} \]

Dermed er verdimengden til \(f\) gitt ved \(V_f = \left[0, \dfrac{1}{e}\right]\). Dette er det samme som definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, altså

\[ D_{f^{-1}} = \left[0, \dfrac{1}{e}\right] \]

---

Underveisoppgave 2

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x \ln x \qder D_f = [a, \to\rangle \]

der \(a > 0\).

Bestem \(a\) slik at

1. \(f\) har en omvendt funksjon og har en så stor definisjonsmengde som mulig.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

Løsning

Vi bestemmer først den deriverte (med produktregelen):

\[ f'(x) = (x \ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]

Deretter skal vi undersøke fortegnet til \(f'(x)\). Vi trenger nullpunktene til \(f'\) så vi kan tegne et fortegnsskjema:

\[ f'(x) = 0 \limplies \ln x + 1 = 0 \limplies \ln x = -1 \limplies x = \dfrac{1}{e} \]

Vi kan merke oss at

\[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x + 1) = -\infty \]

og at

\[ \lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} (\ln x + 1) = \infty \]

Dermed så vil \(f'(x) < 0\) før \(x = \dfrac{1}{e}\) og \(f'(x) > 0\) etter \(x = \dfrac{1}{e}\). Siden definisjonsmengden skal være på formen \(D_f = [a, \to\rangle\), så vil den verdien av \(a\) som både sikrer at \(f\) har en omvendt funksjon, og som gir størst mulig definisjonsmengde, være

\[ a = \dfrac{1}{e}. \]

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen vil være lik verdimengden til \(f\) på \(D_f = \left[\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle\). Siden funksjonen er strengt voksende der, så holder å regne ut \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)\) for å finne verdimengden:

\[ f\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{e} \]

Når \(x \to \infty\), så vil også \(f(x) \to \infty\). Dermed er verdimengden til \(f\) gitt ved

\[ V_f = \left[-\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle. \]

Dette er det samme som definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, altså

\[ D_{f^{-1}} = \left[-\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle. \]

Den deriverte av den omvendte funksjonen

Selv om en funksjon \(f\) har en omvendt funksjon \(f^{-1}\) er det ikke alltid vi kan bestemme \(f^{-1}(x)\) som en formel. I en del sammenhenger ønsker vi likevel å kunne bestemme den deriverte av den omvendte funksjonen, \(\left(f^{-1}\right)'(x)\), og her skal vi se at dette er mulig å gjøre uten å kjenne formelen til den omvendte funksjonen.

La \(g = f^{-1}\) være den omvendte funksjonen til \(f\). Fra definisjonen av omvendte funksjoner vet vi at

\[ g(f(x)) = x \]

Vi deriverer likningen på hver side. Fra kjerneregelen for derivasjon får vi da

\[ (g(f(x)))' = x' \limplies g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1 \]

som betyr at

\[ g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} \]

Altså kan vi bestemme den deriverte til en omvendt funksjon dersom vi kjenner til \(f(x)\) og \(f'(x)\). Formelen forutsetter at \(f'(x) \neq 0\) slik at vi ikke deler på null.

Den deriverte av en omvendt funksjon

La \(f\) være en funksjon og \(g = f^{-1}\) være den omvendte funksjonen til \(f\). Da er den deriverte til den omvendte funksjonen i \(y = f(x)\) gitt ved

\[ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

der \(y = f(x)\) og \(f'(x) \neq 0\).

Dersom vi ønsker å bruke \(f^{-1}\) i formelen, så kan vi skrive den slik:

\[ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

For et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\) vil en tangent til grafen til \(f\) i punktet \((a, b)\) ha stigningstall \(f'(a)\). Den tilsvarende tangenten til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((b, a)\) vil da ha stigningstall \(\dfrac{1}{f'(a)}\).

Se figuren nedenfor.

---

Eksempel 3

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \qder D_f = [2, \to\rangle. \]

La \(g\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

Bestem \(g'(3)\).

Løsning

Først må vi løse likningen \(f(x) = 3\) for å finne \(x\)-verdien som tilsvarer \(y = 3\).

\[ f(x) = 3 \liff x^2 - 4x + 3 = 3 \]

\[ x^2 - 4x = 0 \liff x(x - 4) = 0 \]

som gir

\[ x = 0 \or x = 4 \]

Det er bare \(x = 4 \in D_f\), så vi har at \(f(4) = 3\). Da har vi at

\[ g'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} \limplies g'(3) = \frac{1}{f'(4)} \]

Vi bestemmer \(f'(4)\):

\[ f'(x) = 2x - 4 \limplies f'(4) = 4 \]

Altså er

\[ g'(3) = \frac{1}{4} \]

---

Underveisoppgave 3

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 2x + 8 \qder D_f = [2, \to\rangle. \]

La \(g = f^{-1}\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

Bestem \(g'(0)\).

Fasit

\[ g'(0) = -\frac{1}{6} \]

Løsning

Siden vi skal regne ut \(g'(0)\), så må vi vite \(x\)-verdien som tilsvarer \(y = 0\). Vi løser derfor likningen

\[ f(x) = 0 \liff -x^2 + 2x + 8 = 0 \]

\[ x = -\dfrac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2 \pm 6}{-2} \]

\[ x = 4 \or x = -2 \]

Det er bare \(x = 4 \in D_f\), så vi har at \(f(4) = 0\). Da har vi at

\[ g'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} \limplies g'(0) = \frac{1}{f'(4)} \]

Vi bestemmer \(f'(4)\):

\[ f'(x) = -2x + 2 \limplies f'(4) = -6 \]

Altså er

\[ g'(0) = -\frac{1}{6} \]

---

Vi tar et eksempel til.

Eksempel 4

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x\ln x \qder D_f = \langle 1, \to\rangle. \]

La \(g = f^{-1}\).

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til \(g\) i punktet \((1, e)\).

Løsning

Punkter \((b, a)\) på grafen til \(g\) vil tilsvare punkter \((a, b)\) på grafen til \(f\). Det betyr at punktet \((1, e)\) på grafen til \(g\) tilsvarer punktet \((e, 1)\) på grafen til \(f\). Vi skal altså bestemme \(g'(1)\), og det kan vi gjøre ved å finne \(f'(e)\) først og så bruke

\[ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \limplies g'(1) = \frac{1}{f'(e)} \]

Vi bestemmer \(f'(e)\):

\[ f'(x) = \ln x + 1 \limplies f'(e) = 2 \]

Altså er

\[ g'(1) = \frac{1}{2} \]

Dermed er stigningstallet til tangenten til grafen til \(g\) i punktet \((1, e)\) lik \(\dfrac{1}{2}\).

---

Underveisoppgave 4

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + x + 1 \qder D_f = \real. \]

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((3, 1)\).

Fasit

Stigningstallet er \(\dfrac{1}{4}\)

Løsning

Vi skal bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((3, 1)\). Dette tilsvarer å bestemme \(\left(f^{-1}\right)'(3)\).

Siden punktet \((3, 1)\) ligger på grafen til \(f^{-1}\) så ligger det tilsvarende punktet \((3, 1)\) på grafen til \(f\). Det betyr at

\[ \left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{f'(1)} \]

Vi bestemmer \(f'(1)\):

\[ f'(x) = 3x^2 + 1 \limplies f'(1) = 4 \]

Altså er

\[ \left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{4} \]

Dette er stigningstallet til tangenten til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((3, 1)\).

---

Løsning med digitale verktøy

Når vi skal bestemme den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, er vi avhengig av å løse likningen \(f(x) = y\), slik at vi vet hvilket punkt \((y, x)\) på grafen til \(f^{-1}\) vi skal regne ut den deriverte i med formelen

\[ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

For en del funksjoner er det vanskelig å løse likningen \(f(x) = y\) ved regning. I slike tilfeller kan vi bruke digitale hjelpemidler for å finne den tilhørende \(x\)-verdien slik at vi kan bestemme \(\left(f^{-1}\right)'(y)\).

Eksempel 5

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 e^{-x} \qder D_f = [0, 2\rangle. \]

Bestem \(\left(f^{-1}\right)'(1)\).

Løsning

Bruk CAS-vinduet til å følge regningen i eksempelet.

Åpne CAS‑vindu

Vi må først løse likningen \(f(x) = 1\) slik at vi vet hvilken \(x\)-verdi som tilsvarer \(y = 1\) på grafen til \(f\) slik at vi kan bruke

\[ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

I gif-en nedenfor viser vi hvordan vi kan gå frem for å gjøre dette med CAS.

Vi får at \(x \approx -0.7\) ved å løse likningen \(f(x) = 1\) numerisk ved å bruke i CAS. Så regner vi ut den deriverte til den omvendte funksjonen og får:

\[ g'(1) = \frac{1}{f'(-0.7)} \approx -0.26 \]