12. Omvendte funksjoner#
Læringsmål
Kunne forklare hva en omvendt funksjon er og beskrive sammenhengen mellom en funksjon og dens omvendte funksjon algebraisk og grafisk.
Kunne bestemme den omvendte funksjonen til en gitt funksjon.
Kunne avgjøre om en funksjon har en omvendt funksjon.
Hvis \(f\) er en funksjon som gjør noe med et tall \(x\), får vi et nytt tall \(y\) ved å regne ut \(y = f(x)\). Dersom \(g\) er en omvendt funksjon til \(f\), så vil \(g\) fungere som en angreknapp som tar \(y\) tilbake til utgangspunktet vårt igjen ved å regne ut \(x = g(y)\). Vi kan illustrere sammenhengen med et diagram som vist i figuren nedenfor.
Mer presist kan vi definere sammenhengen mellom en funksjon \(f\) og dens omvendte funksjon \(g\) som følger:
Omvendte funksjoner
La \(f\) være en funksjon og \(g\) være den omvendte funksjon til \(f\). Da har vi at
Det vil si at dersom vi først bruker funksjonen \(f\) på et tall \(x\), og deretter bruker den omvendte funksjonen \(g\) på svaret \(f(x)\) vi får, så ender vi opp med det opprinnelige tallet \(x\) igjen.
Dette vil være symmetrisk (vi kan gå begge veier), så vi har også at \(f\) er den omvendte funksjonen til \(g\), slik at
Noen ganger skriver vi den omvendte funksjonen til \(f\) som \(f^{-1}\) i stedet for å gi den et eget navn som \(g\). Dette er bare en skrivemåte og svarer ikke til at vi skal bruke potensregler.
La oss konkretisere dette med noen eksempler:
Eksempel 1
Vi lar funksjonen \(f\) være gitt ved
Det vil si, \(f\) er funksjonen som tar et tall \(x\) og legger til \(2\).
Bestem den omvendte funksjonen \(g\) til \(f\).
Løsning
Den omvendte funksjonen må “angre” handlingen \(f\) gjør med et tall \(x\). Hvis \(f(x)\) tar tallet \(x\) og legger til \(2\), så må \(g(x)\) gjøre det motsatte, altså ta tallet vi får fra \(f(x)\) og trekke fra \(2\). Det vil si at
Vi kan se at dette stemmer ved å regne ut \(g(f(x))\) og sjekke at vi får \(x\) som svar:
Altså har vi funnet den omvendte funksjonen til \(f\).
Underveisoppgave 1
En funksjon \(f\) er gitt ved
Forklar hva funksjonen \(f\) gjør med et tall \(x\).
Bestem den omvendte funksjonen \(g\) som “angrer” handlingen til \(f\).
Fasit
Løsning
Funksjonen \(f\) ganger tallet \(x\) med \(3\).
Den omvendte funksjonen \(g\) vil være en som “angrer” handlingen til \(f\). Det motsatte av å gange med \(3\) er å dele med \(3\), så derfor vil den omvendte funksjonen være
Det kan vi se stemmer ved å regne ut \(g(f(x))\):
Vi har allerede jobbet med funksjoner som har omvendte funksjoner uten at vi har brukt dette begrepet bevisst. Eksponentialfunksjoner og logaritmer er et slikt eksempel.
Eksempel 2
La \(f\) være gitt ved \(f(x) = e^x\) og \(g\) være gitt ved \(g(x) = \ln(x)\). Da er \(f\) og \(g\) omvendte funksjoner. Det kan vi se fordi
og
Altså vil eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen “angre” hverandres handlinger. Dermed er de omvendte funksjoner.
Vi har vært borti mange flere omvendte funksjoner tidligere, og nedenfor er en liten liste:
Funksjon \(f(x)\) |
Omvendt funksjon \(g(x)\) |
|---|---|
\(x + a\) |
\(x - a\) |
\(ax\) |
\(\dfrac{x}{a}\) |
\(x^2\) (for \(x \geq 0\)) |
\(\sqrt{x}\) |
\(x^n\) (for \(x \geq 0\)) |
\(\sqrt[n]{x}\) |
\(e^x\) |
\(\ln(x)\) |
\(a^x\) |
\(\log_a(x)\) |
Bestemme omvendte funksjoner#
Gitt en funksjon \(f\), så kan vi bestemme den omvendte funksjonen \(g\) ved å sette opp likningen
og løse likningen for \(x\) slik at vi får \(x\) uttrykt som en funksjon av \(y\). Den funksjonen vi da får for \(x\) er den omvendte funksjonen \(g(y)\). For å kunne tenke på grafen til \(g\) som vanlig, så bytter vi ofte navnet på variabelen \(y \to x\) igjen etterpå.
Eksempel 3
Bestem den omvendte funksjonen til \(f\) gitt ved
Løsning
Vi setter opp likningen
For å løse likningen for \(x\), begynner vi med å bruke definisjonen av den naturlige logaritmen til å omskrive likningen:
Deretter isolerer vi \(x\):
Dermed vil
Så bytter vi om \(y \to x\) igjen så vi kan tenke på \(g\) som en vanlig funksjon. Da får vi at den omvendte funksjonen til \(f\) er gitt ved
Underveisoppgave 2
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem den omvendte funksjonen \(g\) til \(f\).
Sjekk svaret ditt ved å verifisere at \(g(f(x)) = x\) og \(f(g(x)) = x\).
Fasit
Grafisk sammenheng mellom funksjoner og deres omvendte funksjoner#
Vi har så langt sett at \(g\) er den omvendte funksjonen til \(f\), så vil \(g\) “angre” handlingen til \(f\) og omvendt. Funksjonen \(f\) tar et tall \(x\) fra sin definsjonsmengde \(D_f\) og gir oss et nytt tall \(y = f(x)\) som ligger i sin verdimengden \(V_f\). Den omvendte funksjonen \(g\) tar derimot et tall \(y\) fra sin definisjonsmengde \(D_g\) (som tilsvarer verdimengden til \(f\)) og gir oss tilbake tallet \(x = g(y)\) som ligger i sin verdimengde \(V_g\) (som tilsvarer definisjonsmengden til \(f\)). Dette kan vi illustrere som vist i figuren nedenfor.
Dette betyr at et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\), svarer til et punkt \((b, a)\) på grafen til \(g\). Altså byttes \(x\)- og \(y\)-verdiene om når vi går fra grafen til \(f\) til grafen til \(g\).
Grafisk sammenheng mellom funksjoner og deres omvendte funksjoner
La \(f\) og \(g\) være omvendte funksjoner til hverandre. Da er
\(D_f = V_g\)
\(V_f = D_g\)
Punktet \((a, b)\) på grafen til \(f\) tilsvarer punktet \((b, a)\) på grafen til \(g\).
Siden et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\) tilsvarer et punkt \((b, a)\) på grafen til \(g\), så vil grafen til \(g\) være et speilbilde av grafen til \(f\) om linjen \(y = x\).
Vi kan se noen helt konkrete eksempler på grafen til \(f\) og dens omvendte funksjon \(g\) nedenfor.
Eksempel 4
Når du ser på figurene nedenfor kan du legge merke til følgende:
Grafen til \(f\) og grafen til den omvendte funksjon \(g\) er speilbilder av hverandre rundt linjen \(y = x\)
Et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\) tilsvarer et punkt \((b, a)\) på grafen til \(g\)
Definisjonsmengden til \(f\) er lik verdimengden til \(g\), og verdimengden til \(f\) er lik definisjonsmengden til \(g\)
Fig. 12.1 Viser grafen til \(f(x) = e^x\) og den omvendte funksjonen \(g(x) = \ln(x)\)#
Fig. 12.2 Viser grafen til \(f(x) = x^2\) med \(D_f = \langle 0, \to\rangle\) og den omvendte funksjonen \(g(x) = \sqrt{x}\)#
Fig. 12.3 Viser grafen til \(f(x) = (x - 1)^2 + 2\) med \(D_f = [1, 3\rangle\) og den omvendte funksjonen \(g(x) = \sqrt{x - 2} + 1\) med \(D_g = [2, 6\rangle\). Merk at \(D_f = V_g\) og \(V_f = D_g\).#
Fig. 12.4 Viser grafen til \(f(x) = x^3 + 1\) for \(x \in \langle -2, 2]\) og den omvendte funksjonen \(g(x) = \sqrt[3]{x - 1}\)#
Underveisoppgave 3
Grafen til en funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Én av grafene nedenfor viser \(f\) som omvendte funksjon. Avgjør hvilken.
Fasit
Graf B.
Løsning
Grafen til \(f\) skal speiles over linja \(y = x\) for å få grafen til den omvendte funksjonen. Vi kan for eksempel se at endepunktet \((2, 8)\) da må bli \((8, 2)\) som kun graf B har. Graf D har samme form, men her er dette endepunktet ekskludert.
Dermed er graf B den riktige grafen for den omvendte funksjonen til \(f\).
Underveisoppgave 4
Grafen til en funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem definisjonsmengden og verdimengden til den omvendte funksjonen \(g\).
Fasit
Eksistens av omvendte funksjoner#
Når vet vi egentlig om en funksjon har en omvendt funksjon? Hva skal til for at vi skal kunne “angre” handlingen til en funksjon \(f\)? Når vi regner ut \(y = f(x)\), kan det hende at flere forskjellige verdier for \(x\) “lander” på samme verdi for \(y\). Da vil ikke \(y\)-verdien kunne fortelle oss nøyaktig hvilken \(x\)-verdi vi startet med, og da kan vi ikke “angre” handlingen til \(f\).
Figuren til venstre nedenfor viser et eksempel på en funksjon \(f\) som har en omvendt funksjon, mens figuren nedenfor til høyre viser et eksempel på en funksjon \(f\) som ikke har en omvendt funksjon.
Fig. 12.5 Definisjonsmengden til \(f\) er \(D_f = \{1, 2, 3\}\). Når vi regner ut \(y = f(x)\), så er det bare én verdi for \(x\) for hver verdi for \(y\) i \(V_f = \{1, 4, 9\}\). Da har \(f\) en omvendt funksjon \(g\) som “angrer” handlingen til \(f\). #
Fig. 12.6 Definisjonsmengden til \(f\) er \(D_f = \{1, 2, 3\}\). Når vi regner ut \(y = f(x)\), så er det to forskjellige verdier for \(x\) som gir samme verdi \(y = 9\) i \(V_f = \{4, 9\}\). Da kan vi ikke “angre” handlingen til \(f\) fordi vi vet ikke hvilken verdi for \(x\) som ga oss \(y = 9\).#
Monotone funksjoner#
I neste kapittel skal vi se hvordan vi kan bruke den deriverte til å avgjøre om en funksjon har en omvendt funksjon ved å undersøke om funksjonen er monoton. Her ser vi på det grafiske kjennetegnet.
Så lenge en funksjon \(f\) stiger eller synker i hele sin definisjonsmengde, så kan vi være sikre på at den bare har én verdi for \(x\) for hver verdi for \(y = f(x)\). Dermed kan vi “angre” handlingen til \(f\) og funksjonen har en omvendt funksjon. Slike funksjoner kalles gjerne for monotone funksjoner. Mer presist har vi at:
Monotone funksjoner
En funksjon \(f\) er en monoton funksjon dersom den er enten strengt voksende eller strengt avtakende i hele sin definisjonsmengde.
- Strengt voksende
Hvis \(x_1 < x_2 \limplies f(x_1) < f(x_2)\) for alle \(x_1, x_2\) i definisjonsmengden til \(f\).
- Stengt avtakende
Hvis \(x_1 < x_2 \limplies f(x_1) > f(x_2)\) for alle \(x_1, x_2\) i definisjonsmengden til \(f\).
Eksempel 5
Nedenfor vises grafene til to funksjoner.
Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon.
Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer.
Løsning
Grafen til \(f\) stiger i hele sin definisjonsmengde slik at den bare vil skjære enhver horisontal linje én gang. Derfor vil \(f\) ha en omvendt funksjon \(f^{-1}\).
Definisjonsmengden til \(f^{-1}\) vil svare til verdimengden til \(f\) som er gitt ved \(V_f = [-3, 8\rangle\). Dermed er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen til \(f\) gitt ved
Grafen til \(g\) synker først og deretter stiger innenfor definisjonsmengden sin. Dermed vil den skjære minst én horisontal linje mer enn én gang. Da kan ikke \(g\) ha en omvendt funksjon.