7. Kontinuitet

Oppgave 1

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x + 2 \qfor x < 1 \\ \\ 2x + b \qfor 1 \leq x < 3 \\ \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(b\) slik at \(f\) er kontinuerlig i \(x = 1\).

Fasit

\[ b = 1 \]

Løsning

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 1\), må

\[ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^+} f(x) = f(1) \]

Vi har at

\[ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} x + 2 = 1 + 2 = 3 \]

Videre er

\[ \lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} 2x + b = 2\cdot 1 + b = 2 + b \]

Hvis vi regner ut \(f(1)\) ved å bruke forskriften som er gyldig når \(x = 1\) får vi:

\[ f(1) = 2\cdot 1 + b = 2 + b \]

Altså må

\[ 2 + b = 3 \liff b = 3 - 2 = 1 \]

Dermed er \(f\) kontinuerlig i \(x = 1\) hvis \(b = 1\).

---

Oppgave 2

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 \qfor x < 2 \\ \\ ax + 3 \qfor x \geq 2 \\ \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(a\) slik at \(f\) er kontinuerlig i \(x = 2\).

Fasit

\[ a = -\dfrac{3}{2} \]

Løsning

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 2\), må

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) \]

Funksjonen er definert i \(x = 2\), og vil da ha funksjonsverdien

\[ f(2) = a\cdot 2 + 3 = 2a + 3. \]

Videre har vi at grenseverdiene er gitt ved

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} x^2 - 4 = 2^2 - 4 = 0 \]

og

\[ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} ax + 3 = 2a + 3 \]

Dermed må

\[ 2a + 3 = 0 \liff 2a = -3 \liff a = -\dfrac{3}{2} \]

Altså er \(f\) kontinuerlig i \(x = 2\) hvis \(a = -\dfrac{3}{2}\).

---

Oppgave 3

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, \quad x < 2 \\ \\ x - t, \quad x \geq 2 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(t\) slik at \(f\) er kontinuerlig i \(x = 2\).

Fasit

\[ t = -3 \]

Løsning

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 2\) må

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) \]

Først sjekker vi om \(f(2)\) eksisterer. Det gjør den siden \(x = 2\) er med i definisjonsmengden til \(f\):

\[ f(2) = 2 - t \]

Deretter regner vi ut grenseverdiene:

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} x^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 \]

og

\[ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} x - t = 2 - t \]

Så setter vi de to grenseverdiene lik hverandre:

\[ 5 = 2 - t \liff t = 2 - 5 = -3 \]

Dermed er \(f\) kontinuerlig i \(x = 2\) hvis \(t = -3\).

---

Oppgave 4

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x^2 + a \qfor x \leq a \\ \\ ax + 2 \qfor x > a \\ \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(a\) slik at \(f\) er kontinuerlig (overalt!).

Fasit

\[ a = 2. \]

Løsning

Vi har at \(f\) i utgangspunktet er kontinuerlig overalt bortsett fra muligens i \(x = a\). For at \(f\) skal være kontinuerlig i dette punktet, må

\[ \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a) \]

Først bestemmer vi \(f(a)\) som gir

\[ f(a) = a^2 + a \]

Deretter regner vi ut de to grenseverdiene:

\[ \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^-} x^2 + a = a^2 + a \]

og

\[ \lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^+} ax + 2 = a^2 + 2 \]

Setter vi de to grenseverdiene lik hverandre, får vi

\[ a^2 + a = a^2 + 2 \liff a = 2 \]

Dermed er \(f\) kontinuerlig hvis \(a = 2\).

---

Oppgave 5

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x, \quad 0 \leq x \leq 2 \\ \\ 5 - x, \quad 2 < x \leq 5 \\ \end{cases} \end{split}\]

Nedenfor vises noen påstander.

a

Avgjør om påstanden nedenfor stemmer.

\(f\) er kontinuerlig i \(x = 2\).

Fasit

\(f\) er ikke kontinuerlig i \(x = 2\).

Løsning

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 2\) må \(f(2)\) eksistere og

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) \]

Vi regner først ut \(f(2)\) siden \(x = 2\) er i definisjonsmengden til \(f\):

\[ f(2) = 2 \]

Deretter bestemmer vi de to grenseverdiene:

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} x = 2 \]

og

\[ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} 5 - x = 5 - 2 = 3 \]

Siden de to grenseverdiene ikke er like, så er ikke \(f\) kontinuerlig i \(x = 2\).

b

Avgjør om påstanden nedenfor stemmer.

Hvis vi endrer definisjonsmengden til \(D_f = [0, 5] \setminus \{2\}\), så er \(f\) en kontinuerlig funksjon.

Fasit

Påstanden er sann.

Løsning

Dersom vi fjerner \(x = 2\) fra definisjonsmengden til \(f\), så vil \(f\) være kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden sin siden hver forskrift er i seg selv kontinuerlige funksjoner og siden definisjonsmengden nå er åpne mengder (slik at det alltid er mulig å regne ut ensidige grenser fra hver side av alle punkter i definisjonsmengden som vil nærme seg samme verdi). Dermed er \(f\) kontinuerlig hvis vi endrer definisjonsmengden til \(D_f = [0, 5] \setminus \{2\}\).

c

Avgjør om påstanden nedenfor stemmer.

Hvis vi endrer definisjonsmengden til \(D_f = [0, 5] \setminus \{2\}\), så er verdimengden til \(f\) uendret.

Fasit

Påstanden er sann.

Løsning

Hvis vi endrer definsjonsmengden til den oppgitte mengden, så vil verdimengden fortsatt være den samme.