Oppgaver: Omvendte funksjoner

Oppgave 1

To funksjoner \(f\) og \(g\) er omvendte funksjoner dersom

\[ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x \]

a

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = 10^x \qog g(x) = \lg (x) \]

b

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = \ln (2x) \qog g(x) = \frac{1}{2} e^x \]

c

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = x^3 - 4 \qog g(x) = \sqrt[3]{x + 4} \]

d

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = \frac{2x + 3}{5} \qog g(x) = \frac{5x - 3}{2} \]

---

Oppgave 2

For hver av funksjonene nedenfor:

1. Bestem funksjonsuttrykket til den omvendte funksjonen.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \sqrt{x} + 3 \qder D_f = [0, 4\rangle \]

Fasit

\[ f^{-1}(x) = (x - 3)^2 \qder D_{f^{-1}} = [3, 5\rangle. \]

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \ln (x - 5) \qder D_g = \langle 5, \to\rangle. \]

Fasit

\[ g^{-1}(x) = e^x + 5 \qder D_{g^{-1}} = \real \]

c

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 + 3 \qder D_h = [0, 2\rangle. \]

Fasit

\[ h^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{h^{-1}} = [3, 7\rangle \]

d

En funksjon \(k\) er gitt ved

\[ k(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \qder D_k = \real \setminus \{1\}. \]

Fasit

\[ k^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \qder D_{k^{-1}} = \real \setminus \{2\}. \]

---

Oppgave 3

Grafen til en funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

La \(g\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

a

Bestem \(D_f\) og \(V_f\).

Fasit

\[ D_f = [1, 4\rangle \qog V_f = [-4, 5\rangle. \]

b

Bestem \(D_g\) og \(V_g\).

Fasit

\[ D_g = [-4, 5\rangle \qog V_g = [1, 4\rangle. \]

c

Bestem \(g(-3)\).

Fasit

\[ g(-3) = 2. \]

d

Bestem \(g(0)\).

Fasit

\[ g(0) = 3. \]

e

Én av grafene nedenfor viser grafen til \(g\).

Avgjør hvilken. Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf C.

---

Oppgave 4

a

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f\) har en omvendt funksjon \(g\).

• \(f(2) = 3\)

• \(f(3) = -4\).

Bestem \(g(-4)\) og \(g(3)\).

Fasit

\[ g(-4) = 3 \]

\[ g(3) = 2 \]

b

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f\) har en omvendt funksjon \(g\).

• \(f(1) = 5\)

• \(f(4) = 0\).

Bestem \(g(0)\) og \(g(5)\).

Fasit

\[ g(0) = 4 \]

\[ g(5) = 1 \]

c

I tabellen nedenfor ser du en verditabell for en funksjon \(f\) med definisjonsmengden

\[ D_f = \{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}. \]

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)
\(f(x)\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(-2\)	\(4\)	\(0\)

Sett sammen riktig funksjonsverdier for den omvendte funksjonen \(g\).

---

Oppgave 5

a

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf B og D.

b

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf A, B og D.

c

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf A, B, og D.

d

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf A, B og C.

---

Oppgave 6

1. Avgjør om funksjonene nedenfor har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den eksisterer.

a

Fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{f^{-1}} = \langle 1, 3]\).

b

Fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{g^{-1}} = [-4, 5\rangle\).

c

Fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{h^{-1}} = \real \setminus \{1\}\)

d

Fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{k^{-1}} = [-1, 2]\).

---

Oppgave 7

a

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Fasit

Funksjonene \(g\), \(h\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{g^{-1}} &= [1, 6] \\ \\ D_{h^{-1}} &= [-1, 3] \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -1, 3] \end{align*} \end{split}\]

b

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Fasit

Funksjonene \(f\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{f^{-1}} &= \langle -2, 0\rangle \cup [2, 4\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= [-4, 8\rangle \end{align*} \end{split}\]

c

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Fasit

Funksjonene \(f\), \(h\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{f^{-1}} &= [-1, 3\rangle \\ \\ D_{h^{-1}} &= \langle 0, 2\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -2, 4\rangle \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 8

a

Grafen til en funksjon andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f^{-1}(x)\).

Fasit

\[ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{f^{-1}} = [3, 7\rangle. \]

b

Grafen til en delt funksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g^{-1}(x)\).

Fasit

\[\begin{split} g^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & -3 < x < 0 \\ \\ -\dfrac{x + 4}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases} \end{split}\]

---

Oppgave 9

I figuren nedenfor vises fire grafer, der to og to av grafene er omvendte funksjoner.

Avgjør hvilke som hører sammen.

Fasit

• \(A\) og \(F\) er omvendte funksjoner.

• \(B\) og \(C\) er omvendte funksjoner.

• \(D\) og \(E\) er omvendte funksjoner.