Krasjkurs 1

Innhold

Krasjkurs 1#

Læringsmål

Kunne bruke CAS til å regne funksjoner og bestemme funksjonsverdier, den deriverte, ekstremalpunkter og ukjente koeffisienter.
Kunne bruke CAS til å løse likninger, likningssystemer og ulikheter
Kjenne til matematiske funksjoner i CAS som \(\ln x\), \(\log_a (x)\) og \(e^x\).

Funksjoner#

Det er noen matematiske funksjoner i R1 som vi må kunne bruke i CAS. Her er en oversikt over de vi trenger:

Funksjon	Notasjon i CAS	Eksempel
\(\ln(x)\)	`ln(x)`	`ln(5)`
\(\lg(x)\)	`lg(x)`	`lg(100)` gir \(\lg(100)\)
\(\log_a(x)\)	`log(a, x)`	`log(2, 8)` gir \(\log_2 (8)\)
\(e^x\)	`exp(x)`	`exp(3)` gir \(e^3\)

Funksjonsverdier#

Det er i blant nyttig å kunne regne ut funksjonsverdier \(f(x)\), og det kan gjøres raskt og enkelt med CAS.

Utforsk 1

I gif-en nedenfor regner vi ut \(f(2)\) eksakt og numerisk for funksjonen

\[ f(x) = x \ln x \]

Å regne ut eksakte verdier gjør vi med GeoGebra mode_evaluate icon – dette er det vi får som standard ved å bare trykke på enter ⏎. Å regne ut numeriske verdier gjør vi ved å trykke på GeoGebra mode_numeric icon .

Bruk CAS-vinduet og følge eksempelet i gif-en.

../../../_images/funksjonsverdier_1.gif — Fig. 1 Først defineres funksjon \(f(x)\). Det er viktig å bruke `:=` og ikke bare `=` for at det skal bli en funksjon. Deretter regner vi ut \(f(2)\) både eksakt og numerisk ved å bruke og .#

Underveisoppgave 1

a

Bestem \(f(3)\) eksakt og numerisk for

\[ f(x) = e^{x^2} \]

Fasit

b

Bestem \(g(5)\) eksakt og numerisk for

\[ g(x) = \lg(x + 10) \]

Fasit

c

Bestem \(h(-3)\) eksakt og numerisk for

\[ h(x) = \log_2(x^2 + 4) \]

Fasit

Funksjonsverdier til \(f'\) og \(f''\)#

Vi kan også regne ut funksjonsverdier for den deriverte \(f'\), eller den andrederiverte \(f''\) for en gitt funksjon \(f\).

Utforsk 2

I gif-en nedenfor regner vi ut \(f'(x)\), \(f''(x)\), \(f'(1)\) og \(f''(1)\) for funksjonen

\[ f(x) = x^3 e^{-x} \]

For å få den deriverte skriver vi bare f'(x) og for den andrederiverte f''(x).

Bruk CAS-vinduet og følg eksempelet.

Underveisoppgave 2

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x \ln (x + 1) \]

Bestem \(f'(x)\).
Bestem \(f'(2)\) eksakt og numerisk.

Fasit

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \]

Bestem \(g'(x)\).
Bestem \(g'(-2)\) eksakt og numerisk.

Fasit

c

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = e^{\sqrt{x + 1}} \]

Bestem \(h''(x)\)
Bestem \(h''(3)\) eksakt og numerisk.

Fasit

d

En funksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = \log_2 (2x^2 + 4) \]

Bestem \(p''(x)\).
Bestem \(p''(4)\) eksakt og numerisk.

Fasit

Bestemme \(f(x)\) med likningssystem#

I en del sammenhenger ønsker vi å bestemme koeffisientene til en funksjon \(f\) gitt ved et funksjonsuttrykk med ukjente koeffisienter, før vi skal bruke funksjonen videre til å løse andre problemstillinger med funksjonen. Dette er det neste vi skal se på.

Utforsk 3

I figuren til høyre vises en andregradsfunksjon

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

sammen med noen punkter på grafen til \(f\).

I gif-en nedenfor vises det hvordan man bestemmer koeffisientene \(a\), \(b\) og \(c\) med et likningssystem og setter de inn i \(f(x)\). Oppskriften er:

Lag en testfunksjon \(g(x)\) med de ukjente koeffisientene.
Løs et likningssystem for koeffisientene ved å bruke punktene på grafen til \(f\).
Erstatt koeffisientene i testfunksjonen \(g(x)\) med CAS-funksjonen ByttUt og definer \(f(x)\) med det nye uttrykket.

Prøv med CAS-vinduet og følg eksempelet i gif-en nedenfor.

../../../_images/bestemme_f.gif — Fig. 2 Først definerer vi en testfunksjon \(g(x)\) med de ukjente koeffisientene. Deretter lager vi et likningssystem og løser det med . Til slutt bruker vi `ByttUt(uttrykk, liste med forandringer)` til å definere \(f(x)\) med de riktige koeffisientene.#

Underveisoppgave 3

a

I figuren til høyre vises grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

Bestem \(f(x)\).

Fasit

b

I figuren til høyre vises grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{100}{1 + a\cdot e^{-bx}} \]

Bestem \(f(x)\).

Fasit

c

I figuren til høyre vises grafen til

\[ f(x) = a \cdot e^{-bx} + 1 \]

Bestem \(f(x)\).

Fasit

d

I figuren til høyre vises grafen til

\[ f(x) = a\cdot \left(\log_3 x\right)^2 + b \cdot \log_3 x + c \]

Bestem \(f(x)\).

Fasit

Likninger#

De fleste likningene vi jobber med vil være tilknyttet funksjoner. Denne typen problemstillinger egner seg godt for CAS.

Eksakt løsning#

Utforsk 4

I figuren til høyre vises grafen til funksjonen

\[ f(x) = e^{2x} - 2e^{x} - 8 \]

Vi skal bestemme følgende eksakt:

Nullpunktet til \(f\).
Koordinatene til bunnpunktet til \(f\).

Bruk CAS-vinduet og følg løsningen nedenfor – eller prøv selv først og sjekk løsningen etterpå!

Løsning

Vi løser \(f(x) = 0\) og \(f'(x) = 0\) eksakt ved å bruke .
Så regner vi ut koordinatene til bunnpunktet til slutt ved å bruke løsningen av \(f'(x) = 0\).

Underveisoppgave 4

a

I figuren til høyre vises grafen til

\[ f(x) = (x^2 - 1)e^{-x^2 + 1} \]

Bestem nullpunktene til \(f\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Fasit

b

I figuren til høyre vises grafen til

\[ g(x) = (x^2 - 3) e^{-x} \]

Bestem nullpunktene til \(g\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\).

Fasit

c

I figuren til høyre vises grafen til

\[ h(x) = \dfrac{\ln(x^2 + 4) - 1}{\ln(x^2 + 4) + 1} - \dfrac{1}{2} \]

Bestem nullpunktene til \(h\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(h\).

Fasit

d

I figuren til høyre vises grafen til

\[ p(x) = (\lg x)^2 - 3 \lg x + 2 \]

Bestem nullpunktene til \(p\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(p\).

Fasit

Numerisk løsning#

Med noen likninger, vil det være umulig å få \(x\) alene uansett hvor hardt vi prøver. Da er det numerisk løsning som er vår eneste utvei.

Utforsk 5

I figuren til høyre vises grafen til

\[ f(x) = x^2 e^{x} - 2 \]

Vi skal bestemme nullpunktet til \(f\).

Bruk CAS-vinduet til å følge løsningen nedenfor.

Løsning

Vi prøver å løse likningen \(f(x) = 0\) eksakt med GeoGebra mode_solve icon , men da får vi {?} fordi det ikke er mulig å få \(x\) alene. Derfor må vi bruke GeoGebra mode_nsolve icon for å finne løsningene numerisk.

../../../_images/numerisk_l%C3%B8sning.gif

Underveisoppgave 5

a

I figuren til høyre vises grafen til

\[ f(x) = (x+3) \ln (x^2 + 1) \]

Bestem nullpunktene til \(f\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Fasit

b

I figuren til høyre vises grafen til

\[ g(x) = x^3 e^{-x^2 + 1} - \dfrac{1}{2} \]

Bestem nullpunktene til \(g\) numerisk.
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\) numerisk.

Fasit

c

I figuren til høyre vises grafen til

\[ h(x) = x^4 \ln(x^2 + 1) - x^2 - 1 \]

Bestem nullpunktene til \(h\) numerisk.
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(h\) numerisk.

Fasit

d

Figuren til høyre viser grafen til

\[ p(x) = \dfrac{x e^{-x} + 2}{\ln(x^2 + 1) + 1} \]

Bestem nullpunktene til \(p\) numerisk.
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(p\) numerisk.

Fasit