5. Numerisk løsning av likninger

Halveringsmetoden

Halveringsmetoden er en strategi for å systematisk løse likninger. Ideen er som følger:

Halveringsmetoden

For en funksjon \(f\), kan vi finne et nullpunkt \(x\) slik at \(f(x) = 0\) ved å bruke følgende strategi:

1. Velg et intervall \([a, b]\) slik at \(f(a)\) og \(f(b)\) har motsatte fortegn.

2. Beregn midtpunktet \(c = \dfrac{a + b}{2}\) på intervallet.

3. Sjekk fortegnet til \(f(c)\):

   • Hvis \(f(c) = 0\), har vi funnet nullpunktet.

   • Hvis \(f(c)\) har samme fortegn som \(f(a)\), sett det nye intervallet til \([c, b]\).

   • Hvis \(f(c)\) har samme fortegn som \(f(b)\), sett det nye intervallet til \([a, c]\).

Gjenta dette frem til \(f(c) \approx 0\) (det vil si at \(f(c)\) er tilstrekkelig nærme null). Da er \(x = c\) nullpunktet til \(f\).

Se animasjonen nedenfor.

Fig. 5.1 Animasjonen starter med intervallet \([a_1, b_1]\) og regner ut et midtpunkt \(c\). Deretter velges det intervallet hvor funksjonen skifter fortegn, og prosessen gjentas. Etter hvert nærmer \(c\) seg verdien til nullpunktet.

Halveringsmetoden (Bisection method) laget av Picknick, lisensiert under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons.

---

np.log(x) er det samme som \(\ln(x)\).

Oppgave 1

Programmet nedenfor bruker halveringsmetoden, men er plassert i tilfeldig rekkefølge.

a

Sett programmet i riktig rekkefølge.

b

Kjør programmet nedenfor og gi en tolkning av det programmet skriver ut.

c

I programmet nedenfor ser du noen kommentarer merket # ????.

Bytt ut ???? og forklar hva programmet gjør med korte kommentarer.

d

Hvilken betydning har a og b i programmet?

Hva skjer hvis f(a) og f(b) har samme fortegn? Prøv med i programmet.

e

Hvilken betydning har nøyaktighet i programmet?

Prøv forskjellige verdier og trekk en konklusjon.

f

Modifiser programmet og prøv følgende

• Velg en annen funksjon \(f(x)\).

• La brukeren skriv inn verdiene til a og b med input()-funksjonen.

• Skriv en mer informativ melding som skrives ut når programmet har løst likningen.

• Skriv en informativ melding som forteller når intervallet \([a, b]\) ikke inneholder et nullpunkt.