6. Løsning med digitale verktøy

Oppgave 1

I gif-en nedenfor vises hvordan vi kan løse en logaritmelikning med CAS i GeoGebra. Vi bruker for å løse likningen eksakt.

Løs likningene nedenfor med CAS.

a

Åpne CAS‑vindu

\[ \lg(x) + \lg(x - 3) = 1 \]

b

Åpne CAS‑vindu

\[ \lg(x + 2) - \lg(x - 2) = 2 \]

c

For å bruke den naturlige logaritmen, skriver vi bare ln(x) i stedet for lg(x) i CAS.

Åpne CAS‑vindu

\[ \ln(x^2 + 1) - \ln(x + 3) = 0 \]

d

Åpne CAS‑vindu

\[ (\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0 \]

---

Oppgave 2

Mange likninger kan ikke løses eksakt fordi det er umulig å få \(x\) alene. Bruker vi får vi bare {?} som utskrift fordi det går ikke løse den eksakt.

Da må i stedet løse likningen numerisk – da finner vi bare en tilnærmet tallverdi for løsningen av likningen. Det kan vi gjøre ved å bruke i CAS.

Se gif-en nedenfor.

Løs likningene nedenfor numerisk med CAS.

a

Åpne CAS‑vindu

\[ x \ln x - 2 = 0 \]

b

Åpne CAS‑vindu

\[ x^2 \ln x - 3\cdot (\ln x)^2 = 10 \]

c

Åpne CAS‑vindu

\[ (\ln x)^2 + \ln(x - 1) = 1 \]

---

Oppgave 3

Vi må være litt forsiktige når vi løser likninger numerisk, for det er mulig å miste løsninger dersom vi ikke er oppmerksomme på hvordan vi gjør det.

I gif-en nedenfor løser vi likningen ved å først bruke direkte uten å “registrere” likningen først. Da får vi bare én løsning. Hvis vi derimot registrerer den først og deretter bruker , får vi alle løsningene.

Løs likningene nedenfor numerisk med CAS.

a

Åpne CAS‑vindu

\[ x^2 \ln \dfrac{1}{x^2} + x^2 - \dfrac{1}{2x} = 0 \]

b

Åpne CAS‑vindu

\[ x^2 \ln x - 2^x = 0 \]

c

Åpne CAS‑vindu

\[ (x^2 - 2) \ln x = 4 \]

---

Oppgave 4

En annen vanlig skrivemåte for \(e^x\) i matematikken er \(e^x = \exp (x)\). I CAS, så må vi bruke denne skrivemåten for å bruke \(e^x\). Se gif-en nedenfor for et eksempel:

Løs likningene nedenfor eksakt.

a

Åpne CAS‑vindu

\[ e^x - 2 = 0 \]

b

Åpne CAS‑vindu

\[ e^{2x} - e^x - 2 = 0 \]

c

Åpne CAS‑vindu

\[ e^x + 3e^{-x} = 4 \]

---

Oppgave 5

Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen \(T\) til en gjenstand etter \(t\) minutter være gitt ved

\[ \ln (T - T_0) = -k\cdot t + r \]

der \(k\) og \(t\) er konstander og \(T_0\) er romtemperaturen.

I et rom er temperaturen \(22 \, \degree \mathrm{C}\). Vi setter en kopp med kaffe som har temperaturen \(82 \, \degree \mathrm{C}\) inn i rommet. Etter \(2\) minutter er temperaturen på kaffen \(66 \, \degree \mathrm{C}\).

Hvor lang tid tar det før kaffen har en temperatur som er mindre enn \(40 \, \degree \mathrm{C}\)?

Åpne CAS‑vindu

---

Oppgave 6

Momentmagnitudeskalaen (ruller ikke av tunga for å si det sånn!) er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv.

Sammenhengen mellom momentmagnituden \(M\) og energien \(E\) som frigjøres ved et jordskjelv er gitt ved

\[ M = \dfrac{2}{3} \lg E - 3.2 \]

Energien \(E\) måles med enheten Joule, J.

Åpne CAS‑vindu

a

Bestem et uttrykk for energien \(E\) som løses ut i et jordskjelv.

b

Bestem hvor mye energi som utløses når et jordskjelv måles til å ha \(4.7\) på momentmagnitudeskalaen.

c

Hvor mange ganger så stor er energien som frigjøres av et jordskjelv dersom \(M\) øker med \(1\)?

---

Oppgave 7

Sammenhengen mellom lydstyrken \(L\) (målt i desibel, dB) og lydintensiteten \(I\) (målt i watt per kvadratmeter, \(\mathrm{W/m^2}\)) er gitt ved

\[ L = 120 + 10 \lg I \]

Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring 130 dB.

Åpne CAS‑vindu

a

Bestem lydintensiteten når lydstyrken er \(130\) dB.

b

Hvor mange prosent øker lydintensiteten når lydstyrken øker med 2 dB?

c

Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er \(E\), vil lydintensiteten \(I\) avta med kvadratet av avstanden \(r\) fra lydkilden, altså

\[ I = \dfrac{E}{4\pi r^2} \]

Lydstyrken fra et fly er 140 dB dersom du er 50 m fra flyet.

Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn smertegrensen for mennesker.