Omvendte funksjoner: Blandede oppgaver

14. Omvendte funksjoner: Blandede oppgaver#

Oppgave 1

a

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x - 1, \quad D_f = \langle -2, 3] \]

Bestem \(f^{-1}(x)\).

Fasit

\[ f^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{2} \, , \quad D_{f^{-1}} = \langle -5, 5] \]

b

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^2 - 1 , \quad D_g = [0, 4\rangle \]

Bestem \(g^{-1}(x)\).

Fasit

\[ g^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} \, , \quad D_{g^{-1}} = [-1, 15\rangle \]

c

Funksjonen \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -x^2 + 4x + 1 \, , \quad D_h = \langle \gets, 2] \]

Bestem \(h^{-1}(x)\).

Fasit

\[ h^{-1}(x) = 2 - \sqrt{5 - x} \, , \quad D_{h^{-1}} = \langle\gets, 5] \]

d

Funksjonen \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = e^{x^2 - 4} \, , \quad D_p = \langle 2, \to \rangle \]

Bestem \(p^{-1}(x)\).

Fasit

\[ p^{-1}(x) = \sqrt{\ln x + 4} \, , \quad D_{p^{-1}} = \langle 1, \to \rangle \]

Oppgave 2

Nedenfor viser grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.
Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene hvis de eksisterer.

Fasit

Graf A og C har omvendte funksjoner.
Definsjonsmengden til \(A^{-1}\) er lik \(\langle -4, 5]\).
Definisjonsmengden til \(C^{-1}\) er lik \(\langle -2, 1]\).

Oppgave 3

Nedenfor vises seks grafer der to og to er omvendte funksjoner til hverandre.

Avgjør hvilke grafer som hører sammen.

Fasit

\(A^{-1} = E\)
\(B^{-1} = C\)
\(D^{-1} = F\)

Oppgave 4

a

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -2x^3 + 24x \]

Bestem det største intervallet \(I = [a, b]\) slik at \(f\) har en omvendt funksjon \(f^{-1}\) på \(I\) og \(0 \in I\).

Fasit

\[ I = [-2, 2] \]

b

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x e^{-ax^2} \, ,\quad D_g = [-2, 3] \]

For hvilke verdier av \(a\) har \(g\) en omvendt funksjon?

Fasit

\[ a \in \left\langle \gets, \dfrac{1}{18}\right] \]

c

Funksjonen \(h\) er gitt ved

\[\begin{split} h(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < a \\ \\ x + 7, & x \geq a \end{cases} \end{split}\]

For hvilke verdier av \(a\) har \(h\) en omvendt funksjon?

Fasit

\[ a \leq 4 \]

Oppgave 5

For en funksjon \(f\) kjenner vi disse verdiene for \(f(x)\) og \(f'(x)\):

\(x\)	\(-2\)	\(0\)	\(1\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(-3\)	\(5\)	\(2\)
\(f'(x)\)	\(4\)	\(-2\)	\(1\)	\(-3\)

La \(g = f^{-1}\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

a

Bestem \(g(5)\).

Fasit

\[ g(5) = 1 \]

b

Bestem \(g(2)\).

Fasit

\[ g(2) = 3 \]

c

Bestem \(g'(-3)\).

Fasit

\[ g'(-3) = -\dfrac{1}{2} \]

d

Det finnes bare én tangent til grafen til \(g\) som har stigningstall \(\dfrac{1}{4}\).

Bestem koordinatene til punktet tangenten treffer grafen til \(g\).

Fasit

\[ (0, -2) \]

Oppgave 6

I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon \(f\).

Avgjør hvilke påstander nedenfor som er sanne.

Rett opp i eventuelle påstander som er gale.

Påstand 1

\[ f^{-1}(6) = 1 \]

Påstand 2

\[ \left(f^{-1}\right)'(0) = \dfrac{1}{2} \]

Påstand 3

\[ \left(f^{-1}\right)'(5) = -\dfrac{1}{2} \]

Påstand 4

\[ (f^{-1})'(x) > 0 \qfor x \in \langle 2, 4\rangle \]

Fasit

Påstand 1, 2 og 4 er sanne.

Påstand 3 er korrekt hvis dersom \((f^{-1})'(5) = -2\).

Oppgave 7

Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen \(Q\) i blitsen \(t\) sekunder etter at den går av, er gitt ved

\[ Q(t) = Q_0 \left(1 - e^{-2.3 t}\right) \, , \quad t \geq 0 \]

Her er \(Q_0\) den maksimale ladningen i blitsen.

a

Bestem den omvendte funksjonen til \(Q\).

Fasit

\[ t(Q) = -\dfrac{10}{23}\ln \left(1 - \dfrac{Q}{Q_0}\right) \]

b

Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen?

Fasit

\[ t(0.9 \cdot Q_0) = \dfrac{10}{23} \ln 10 \approx 1 \, \mathrm{sekunder} \]

Oppgave 8

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = e^{4 - 2x} \qfor x \in \mathbb{R} \]

Bestem \((f^{-1})'(1)\).

Fasit

\[ (f^{-1})'(1) = -\dfrac{1}{2} \]

b

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^2 \ln x \qfor x > 0 \]

Bestem \((g^{-1})'(0)\).

Fasit

\[ (g^{-1})'(0) = 1 \]

c

Funksjonen \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x e^{x^2} \qfor x \in \mathbb{R} \]

Bestem \((h^{-1})'(e)\).

Fasit

\[ (h^{-1})'(e) = \dfrac{1}{3e} \]

d

Funksjonen \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = \ln \left(\dfrac{2 - x}{x^2}\right) \, , \quad D_p = \langle 0, 2\rangle \]

Bestem \((p^{-1})'(\ln 6)\).

Fasit

\[ (p^{-1})'(\ln 6) = -\dfrac{3}{14} \]

Oppgave 9

Om en andregradsfunksjon \(f\) får du vite at

Punktet \((2, 5)\) ligger på grafen til \(f\).
\((f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{9}\).
Den største mulige definisjonsmengden til \(f\) der \(f^{-1}\) eksisterer er \(D_f = [-1, \to\rangle\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + 3x - 7 \]

Oppgave 10

Om to funksjoner \(f\) og \(g\) får du vite at

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \((3, 0)\).
\(\left(f^{-1}\right)'(0) = -2\).
\(\lim\limits_{x\to 1} g(x)\) eksisterer.
\(\left(g^{-1}\right)'(0) = \dfrac{1}{2}\).

Avgjør hvilken graf som viser grafen til \(f\) og hvilken graf som viser grafen til \(g\).

Fasit

\(B = f\).
\(D = g\).

Oppgave 11

Nedenfor ser du åtte grafer.

En av grafene er grafen til en funksjon på formen \(f(x) = a^x\) der \(a\) er positivt helt tall.
Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen \(f(x) = x^b - c\) der \(b\) og \(c\) er positive hele tall.
Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

a

Sorter grafene i par.

De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte til funksjonen.

Fasit

\(G'' = A\)
\(E'' = H\)
\(B'' = C\)
\(F'' = D\)

b

Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafen til funksjoner som har en omvendt funksjon?

Fasit

\(A\), \(B\), \(C\) og \(G\) har omvendte funksjoner.