9. Kjerneregelen#
Læringsmål
Kunne bruke kjerneregelen til å derivere sammensatte funksjoner.
Kjerneregelen
La \(f\) være en funksjon på formen
\[
f(x) = g(u(x))
\]
Da er
\[
f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)
\]
Eksempel 1
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = (3x^2 + 2)^5
\]
Bestem \(f'(x)\).
Løsning
Vi kan skrive \(f(x)\) som
\[
f(x) = u^5
\]
der \(u(x) = 3x^2 + 2\). Da sier kjerneregelen at
\[
f'(x) = (u^5)' \cdot u'(x) = 5u^4 \cdot (6x) = 30xu^4
\]
så setter vi tilbake definisjonen av \(u\) i uttrykket til slutt:
\[
f'(x) = 30 x(3x^2 + 2)^4
\]
Underveisoppgave 1
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = \sqrt{x^2 - 1}
\]
Bestem \(f'(x)\).
Fasit
\[
f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}
\]
Løsning
Vi kan skrive \(f(x)\) som
\[
f(x) = \sqrt{u}
\]
der \(u = x^2 - 1\). Fra kjerneregelen får vi da at
\[
f'(x) = (\sqrt{u})' \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{u}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}
\]