# Eksamen høsten 2025 > Eksamen høsten 2025 var todelt med 2 timer på del 1 og 3 timer på del 2. Våren 2026 vil eksamen være todelt med 3 timer på del 1 og 2 timer på del 2. ## Del 1 (Uten hjelpemidler – 2 timer) :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (5 poeng) ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Deriver funksjonen $f$ gitt ved $$ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2 $$ ::::{answer} $$ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $$ :::: ::::{solution} $$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3\right)' + \left(\sqrt{x}\right)' + (2)' = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x} $$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \real$. Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$. ::::{answer} $$ g'(2) = \dfrac{1}{e^2} \qog g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} $$ :::: ::::{solution} Vi skriver om uttrykket til $$ g(x) = (2x - 3)e^{-x}. $$ Så bruker vi produktregelen for derivasjon: $$ \begin{align*} g'(x) &= (2x - 3)' \cdot e^{-x} + (2x - 3) \cdot (e^{-x})' \\ \\ &= 2e^{-x} + (2x - 3)(-e^{-x}) \\ \\ &= 2e^{-x} - (2x - 3)e^{-x} \\ \\ &= (2 - 2x + 3)e^{-x} \\ \\ &= (5 - 2x)e^{-x}. \end{align*} $$ Så regner vi ut de verdiene: $$ g'(2) = (5 - 2 \cdot 2)e^{-2} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} $$ $$ g'(3) = (5 - 2 \cdot 3)e^{-3} = -e^{-3} = -\dfrac{1}{e^3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hva forteller svarene i oppgave **b** om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$? ::::{answer} Grafen til $g$ har et ekstremalpunkt på intervallet $[2, 3]$. :::: ::::{solution} Siden $g'(x)$ har motsatt fortegn i endepunktene, må $g'(x) = 0$ for minst ett punkt $x \in \langle 2, 3\rangle$. Det betyr at grafen til $g$ har et ekstremalpunkt i intervallet $[2, 3]$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (3 poeng) ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ \left(\lg x\right)^2 - 2 \lg x = 8 $$ ::::{answer} $$ x = 10^4 \or x = 10^{-2}. $$ :::: ::::{solution} Vi setter $u = \lg x$ slik at likningen kan skrives som $$ u^2 - 2u = 8 \liff u^2 - 2u - 8 = 0. $$ Så bruker vi $abc$-formelen som gir: $$ u = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm 6}{2}. $$ Altså må $$ u = 4 \or u = -2, $$ som vil si at $$ \lg x = 4 \or \lg x = -2. $$ Det betyr at $$ x = 10^4 \or x = 10^{-2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $a$ slik at $$ \log_a \dfrac{1}{64} = -3 $$ ::::{answer} $$ a = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker definisjonen av logartimen med grunntall $a$ som gir at $$ \log_a \dfrac{1}{64} = -3 \liff \dfrac{1}{64} = a^{-3} $$ Dermed har vi at $$ \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{1}{64} \liff a^3 = 64 \liff a = 4. $$ Altså er $a = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (3 poeng) ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem grenseverdien dersom den eksisterer: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} $$ ::::{answer} Grenseverdien eksisterer ikke: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \pm \infty $$ :::: ::::{solution} Vi prøver å sette inn $x = -2$ i uttrykket: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2}{(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8} = \dfrac{4 + 8 + 2}{4 + 4 - 8} = \dfrac{14}{0}. $$ Dette forteller oss at grenseverdien går mot $\pm \infty$ når $x \to -2$, så grenseverdien eksisterer ikke. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b 1. Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} $$ 2. Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$. ::::{answer} $$ a = 3 \and \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{1}{6}. $$ :::: ::::{solution} For at grenseverdien skal eksistere, må vi for et $\dfrac{0}{0}$-uttrykk slik at vi kan bruke L'Hôpitals regel: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} = \dfrac{4 - 2a + 2}{0} = \dfrac{6 - 2a}{0}. $$ Altså må vi kreve at $$ 6 - 2a = 0 \liff a = 3. $$ Når $a = 3$, kan vi bruke L'Hôpitals regel for å finne grenseverdien: $$ \lim_{x\to -2} \dfrac{2x + a}{2x - 2} = \lim_{x\to -2} \dfrac{2x + 3}{2x - 2} = \dfrac{-4 + 3}{-4 - 2} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (6 poeng) I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2, 3)$ og $B(3, 2)$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem lengden av linjestykket $AB$. ::::{answer} $$ AB = \sqrt{26}. $$ :::: ::::{solution} Vi har at $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-2), 2 - 3] = [5, -1]. $$ Lengden av linjestykket $AB$ er da $$ AB = \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$-aksen i punktet $C$. Bestem koordinatene til $C$. ::::{answer} $C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)$ :::: ::::{solution} Vi lager en vektorfunksjon $\vec{r}(t)$ for linja. En retningsvektor for linja er $$ \vec{v} = \lvec{AB} = [5, -1]. $$ Bruker vi $\lvec{OA}$ som startpunkt, får vi $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + t \cdot \vec{v} = [-2, 3] + t \cdot [5, -1] = [-2 + 5t, 3 - t]. $$ Vi vet at punktet $C$ ligger på $x$-aksen som betyr at $x$-komponenten til $\vec{r}(t)$ må være lik $0$: $$ -2 + 5t = 0 \liff t = \dfrac{2}{5}. $$ Så setter vi denne verdien inn i $y$-komponenten for å finne $y$-verdien til $C$: $$ y = 3 - t = 3 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{13}{5}. $$ Altså er koordinatene til punktet $C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Et punkt $D$ er gitt ved $D(2, t)$ der $t \in \real$. Bestem $t$ slik at $\angle ABD$ blir $90\degree$. ::::{answer} $$ t = -3. $$ :::: ::::{solution} For at $\angle ABD = 90\degree$, så må prikkproduktet $$ \lvec{BA} \cdot \lvec{BD} = 0. $$ Vi har at $$ \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [-5, 1] $$ og $$ \lvec{BD} = \lvec{OD} - \lvec{OB} = [2 - 3, t - 2] = [-1, t - 2]. $$ Dermed krever vi at $$ \lvec{BA} \cdot \lvec{BD} = 0 \liff [-5, 1] \cdot [-1, t - 2] = 0 $$ som gir $$ 5 + t - 2 = 0 \liff t = -3. $$ Altså vil $\angle ABD = 90\degree$ når $t = -3$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (4 poeng) En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 4x^2 \cdot \ln x $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Bunnpunkt i $\left(e^{-\frac{1}{2}}, -\dfrac{2}{e}\right)$. :::: ::::{solution} Vi løser $f'(x) = 0$ for å finne kandidater til ekstremalpunkter: $$ f'(x) = 8x \ln x + 4x = 4x(2 \ln x + 1) = 0. $$ Altså har vi at $$ 4x = 0 \or 2 \ln x + 1 = 0 \liff x = 0 \or x = e^{-\frac{1}{2}}. $$ Vi tegner en fortegnslinje for $f'(x)$ for å avgjøre om det er et topp- eller bunnpunkt: :::{signchart-2} width: 80% function: 4*x * (2 * log(x) + 1), f'(x) nocache: ::: Fra fortegnslinja til $f'(x)$ ser vi at $f'(x)$ skifter fra negativ til positiv i $x = e^{-\frac{1}{2}}$, så det er et bunnpunkt i dette punktet. Vi må ekskludere $x = 0$ fordi $\ln x$ er ikke definert i dette punktet. Vi finner $y$-koordinaten til det relevante punktet: $$ f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \ln(e^{-\frac{1}{2}}) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e}. $$ Altså har grafen til $f$ et bunnpunkt $$ \left(e^{-\frac{1}{2}}, -\dfrac{2}{e}\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor: :::{code-block} python --- linenos: --- from math import log # log(x) er kode for ln(x) a = 0.1 b = 3 maks_avvik = 0.0001 def f(x): return 4 * x**2 * log(x) m = (a + b) / 2 while abs(f(m)) > maks_avvik: # abs() finner absoluttverdi if f(a) * f(m) < 0: b = m else: a = m m = (a + b) / 2 print(m) ::: Hva ønsker eleven å finne ut? Forklar hva programmet gjør i linje 11 - 20. Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet. ::::{solution} Eleven ønsker å bestemme et nullpunkt til $f$. Fra linje 11 – 20, så starter eleven med et intervall $[a, b]$ og finner midtpunktet $m = \dfrac{a + b}{2}$ på intervallet. Herfra kjører eleven følgende algoritme: Så lenge $|f(m)| > \mathrm{maks~avvik}$: 1. Sjekk om $f(a) \cdot f(m) < 0$. Hvis dette er sant, så skifter $f(x)$ fortegn på intervallet $[a, m]$ og må ha et nullpunkt der. Da settes $b = m$ slik at vi nå har et nytt mindre intervall $[a, m]$ som inneholder nullpunktet. 2. Hvis den forrige sjekken ikke stemmer, så må nullpunktet ligge på intervallet $[m, b]$. Så da setter vi $a = m$ slik at vi nå har et nytt mindre intervall $[m, b]$ som inneholder nullpunktet. 3. Regn ut et nytt midtpunkt $m = \dfrac{a + b}{2}$ for det nye intervallet. Dette gjentar frem til $|f(m)| \leq \mathrm{maks~avvik}$, som betyr at $m$ til slutt er en god tilnærming til et nullpunkt til $f$ med en feilmargin på $0.0001$. Det som skrives ut av programmet vil da være en tilnærming til løsningen av $$ f(x) = 0 \liff 4x^2 \ln x = 0 \liff x^2 = 0 \or \ln x = 0 $$ Den første likningen gir $x = 0$ som ikke er gyldig siden $\ln 0$ ikke er definert. Dermed har vi bare $$ \ln x = 0 \liff x = e $$ Altså skriver programmet ut en tilnærming til $x = e$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ## Del 2 (Med hjelpemidler – 3 timer) :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden $1960 – 1980$. :::{table} --- transpose: true --- labels: År, Folketall $1960$, $500$ $1961$, $604$ $1963$, $852$ $1965$, $1043$ $1967$, $1510$ $1971$, $2163$ $1975$, $2544$ $1977$, $2639$ $1980$, $2715$ ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a > Denne oppgaven er ikke så relevant for halvdagsprøven. Ta gjerne funksjonsuttrykket fra fasiten og løs oppgave **b** og **c**. Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen $$ F(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}} $$ for antall personer $F(t)$ som bodde på dette tettstedet $t$ år etter $1960$. Vurder modellens gyldighetsområde. ::::{answer} $$ F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5.1 \cdot e^{-0.25t}}. $$ :::: ::::{solution} Vi legger dataen inn i et regneark i Geogebra og sørger for at $x$-verdiene er antall år etter $1960$: :::{figure} ./figurer/del_2/1/a/regneark.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Så bruker vi {ggb-icon}`mode_regression` og velger en **logistisk** modell: :::{figure} ./figurer/del_2/1/a/modell.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Altså er en rimelig modell $$ F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5.1 \cdot e^{-0.25t}}. $$ Modellen er gyldig så lenge den gir rimelig prediksjoner. Den forutsier at når $t \to \infty$, så vil det bli ca. $2841$ personer som bor på tettstedet. Dette forutsetter at innbyggertallet etter hvert ikke vil øke, som kanskje ikke er rimelig å anta. For verdier lavere enn $t = 0$, vil modellen raskt gi svært få innbyggere som gjør at modellen er urealistisk bare 10 år tidligere hvor $F(-10) \approx 45$. Gitt at veksten av nye innbyggere blir lavere over tid, så vil modellen være rimelig så lenge $t > 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $F'(12)$ og $F''(12)$. Gi en praktisk tolkning av svarene. ::::{answer} * $F'(12) \approx 115$ forteller oss at omtrent $115$ nye innbygger kom til tettstedet i det 12. året etter $1960$ (altså i $1972$). * $F''(12) \approx -17$ forteller oss at i det 12.året, så kom det omtrent $17$ færre nye innbyggere enn i året før. :::: ::::{solution} Vi regner ut de to verdiene med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/1/b/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- * $F'(12) \approx 115$ forteller oss at omtrent $115$ nye innbygger kom til tettstedet i det 12. året etter $1960$ (altså i $1972$). * $F''(12) \approx -17$ forteller oss at i det 12.året, så kom det omtrent $17$ færre nye innbyggere enn i året før. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Når økte antall personer som bodde på tettstedet, med mer enn 150 personer per år ifølge modellen? ::::{answer} Ifølge modellen økte antall personer som bodde på tettstedet med mer enn $150$ personer per år i løpet av året $1963$ og i løpet av året $1970$. :::: ::::{solution} For å finne ut når antall personer økte med mer enn $150$ personer per år, løser likningen $$ F(t) = 150 $$ Vi gjør dette med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/1/c/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Vi ser at det skjer to ganger: * Først når $t \approx 3.18$ som tilsvarer i løpet av året $1963$. * Så skjer det igjen når $t \approx 9.85$ som tilsvarer i løpet året $1970$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (4 poeng) Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq -2 \\ \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x, & -2 \lt x \lt k, \qder a,b,c \in \real \qog k \in \langle -2, \to \rangle \\ \\ c, & x \geq k \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x = -2$ dersom $a = 2$ og $b = -2$. ::::{answer} $f$ er *ikke* kontinuerlig i $x = -2$ når $a = 2$ og $b = -2$. :::: ::::{solution} Vi lar $$ p(x) = ax + b \qog q(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x \qog r(x) = c. $$ For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = -2$, så må vi ha at $$ p(-2) = q(-2). $$ Med $a = 2$ og $b = -2$ har vi at $$ p(-2) = 2 \cdot (-2) - 2 = -6 $$ og $$ q(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = -16 + 8 + 4 = -4. $$ Altså er ikke $f$ kontinuerlig i $x = -2$ når $a = 2$ og $b = -2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $a$, $b$, $c$ og $k$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar når $x = -2$ og når $x = k$. ::::{answer} Vi får to gyldige muligheter. Enten så må $$ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 $$ eller $$ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3}. $$ :::: ::::{solution} For at $f$ skal være kontinuerlig deriverbar i $x = -2$ må vi kreve at $$ p(-2) = q(-2) \and p'(-2) = q'(-2) $$ For at $f$ skal være kontinuerlig deriverbar i $x = k$ må vi kreve at $$ q(k) = r(k) \and q'(k) = r'(k). $$ Vi bruker CAS til å løse likningssystemet for $a$, $b$, $c$ og $k$: :::{figure} ./figurer/del_2/2/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi får to gyldige muligheter. Enten så må $$ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 $$ eller $$ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (4 poeng) Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur. Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $c$. Denne luktverdien er gitt i lukenheter (odour units) per kubikkmeter ($\mathrm{OU/m^3}$). Sammenhengen mellom $c$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved $$ I = 1.4 \lg c - 0.3 $$ Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor: :::{table} width: 60% labels: Luktintensitet ($I$), Vurdering $\lt 1$, uproblematisk $1 – 2$, akseptabelt $2 – 3$, kan aksepteres kortvarig $3 – 4$, plagsom lukt, bør begrenses $\gt 4$, plagsomt, tiltak kreves ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Resultatet av prøvene viser luktverdien mellom $500~\mathrm{OU/m^3}$ og $1400~\mathrm{OU/m^3}$. Har beboerne grunnlag for å klage? ::::{answer} Ja. :::: ::::{solution} Vi regner ut $I(c)$ for de to oppgitte verdiene med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/3/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at luktintensiteten $I \in [3.5, 4.1]$ som betyr at beboerne har grunnlag til å klage siden det havner innen for vurderingen "plagsom lukt, bør begrenses" og "plagsomt, tiltak kreves". :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene. Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel? ::::{answer} $c \in [8.5, 43.9]~\mathrm{OU/m^3}$ :::: ::::{solution} For at luktintensiten skal være vurdert som "akseptabel", må $$ I(c) \in [1, 2] $$ Vi løser likningene $I(c) = 1$ og $I(c) = 2$ i CAS for å finne nedre og øvre grense for luktverdiene $c$: :::{figure} ./figurer/del_2/3/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: Altså må biogassanlegget sikte på at $c \in [8.5, 43.9]~\mathrm{OU/m^3}$ for at luktintensiteten skal være vurdert som "akseptabel". :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (6 poeng) Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0, 300)$ og utsiktspunktet i $U(1200, 400)$. Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linja. Ina går med konstant fart. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Forklar at parameterframstillingen $$ I : \begin{cases} x = 1200s, & \\ & s \in [0, 1]\\ y = 300 + 100s, & \end{cases} $$ gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet. ::::{solution} Parameterframstillingen er bare en vektorfunksjon $$ \vec{r}(s) = [1200s, 300 + 100s] = [0, 300] + [1200, 100] \cdot s. $$ Det første leddet gjenkjenner vi som startpunktet $\lvec{OH} = [0, 300]$. Retningsvektoren $\vec{v}$ til linja er gitt ved $$ \vec{v} = \lvec{HU} = \lvec{OU} - \lvec{OH} = [1200, 400] - [0, 300] = [1200, 100]. $$ Altså er parameterframstillingen på formen $$ \vec{r}(s) = \lvec{OH} + \vec{v} \cdot s $$ som stemmer overens med opplysningene i oppgaven. Vi kan også se at når $s = 0$, så er $\vec{r}(0) = [0, 300]$ som er punktet $H$, og når $s = 1$, så er $\vec{r}(1) = [1200, 400]$ som er punktet $U$. Dermed gir parameterframstillingen den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hele turen tar $20$ minutter. Bestem posisjonen til Ina etter $5$ minutter. ::::{answer} $$ (300, 325) $$ :::: ::::{solution} Ina starter i punktet $H(0, 300)$ og beveger seg med en konstant fartsvektor $\vec{v} = [a, b]$ slik at hun etter $20$ minutter er i punktet $U(1200, 400)$. Altså må vi ha at $$ [1200, 400] = [0, 300] + [a, b] \cdot 20 \liff [1200, 400] = [20a, 300 + 20b]. $$ Dermed er $$ 20a = 1200 \liff a = 60 $$ og $$ 300 + 2b = 400 \liff 20b = 100 \liff b = 5. $$ Dermed er fartsvektoren $\vec{v} = [60, 5]$. Posisjonen til Ina etter $t$ minutter er da $$ \vec{r}_I(t) = [0, 300] + [60, 5] \cdot t = [60t, 300 + 5t]. $$ Etter $5$ minutter er Ina i posisjonen $$ \vec{r}_I(5) = [60 \cdot 5, 300 + 5 \cdot 5] = [300, 325]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Regn ut farten til Ina. Gi svaret i $\mathrm{m/s}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{v}} \approx 1~\mathrm{m/s}. $$ :::: ::::{solution} Fartsvektoren til Ina fant vi i oppgave **b** til å være $$ \vec{v} = [60, 5] $$ Farten til Ina er da $$ \abs{\vec{v}} = \sqrt{60^2 + 5^2} = \sqrt{5^2 \cdot 12^2 + 5^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{12^2 + 1} = 5 \sqrt{145}. $$ Denne farten er i meter per minutt. Vi har at $1~\mathrm{min} = 60~\mathrm{s}$, så farten i $\mathrm{m/s}$ er gitt ved $$ \abs{\vec{v}} = \dfrac{5 \sqrt{145}}{60}~\mathrm{m/s} = \dfrac{\sqrt{145}}{12}~\mathrm{m/s} \approx \dfrac{\sqrt{144}}{12}~\mathrm{m/s} = 1~\mathrm{m/s}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre. Jonas sin posisjon $t$ minutter etter at han startet sin tur er gitt ved $$ j: \begin{cases} x = 520 - 20t \\ \\ y = 310 + 5t \end{cases} $$ Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas? ::::{answer} Ca. $421$ meter. :::: ::::{solution} Vi har allerede en beskrivelse linja Ina går på. Den er gitt ved $$ \vec{r}_I(s) = [60s, 300 + 5s], $$ der $s$ er en parameter som ikke nødvendigvis er lik tiden $t$ som den er for Jonas (vi vet ikke om de starter å gå samtidig eller ikke). Jonas sin posisjonen etter $t$ minutter kan derimot om til en vektorfunksjon: $$ \vec{r}_J(t) = [520 - 20t, 310 + 5t]. $$ Nå løser vi likningen $\vec{r}_I(s) = \vec{r}_J(t)$ for å finne *hvor* de møtes. Vi gjør dette med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Så de to møtes i punktet $P(420, 335)$. Ina har gått fra punktet $H(0, 300)$ som betyr at hun har gått en avstand som tilsvarer lengden til linjestykket $HP$. Vi regner det ut med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/d2.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Altså har Ina gått nøyaktig $35 \sqrt{145}$ meter som er ca. $421$ meter. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (4 poeng) For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $\abs{\vec{a}} = 4$, $\abs{\vec{b}} = 2 \sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30 \degree$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Gitt at $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$. Regn ut den eksakte lengden til $\vec{p}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{p}} = 2 \sqrt{13} $$ :::: ::::{solution} Skalarproduktet er uavhengig av koordinatsystemet vi bruker, så vi kan lage oss to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som har egenskapene som er oppgitt. Lar vi $\vec{a}$ ligge langs $x$-aksen, har vi $$ \vec{a} = [4, 0] \qog \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot [\cos 30\degree, \sin 30\degree]. $$ Herfra kan vi bruke CAS til å gjøre resten av regningen: :::{figure} ./figurer/del_2/5/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Altså er den eksakte lengden til $\vec{p}$ gitt ved $$ \abs{\vec{p}} = 2 \sqrt{13} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Gitt at $\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}$ der $t \in \real$. Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er ortogonale. ::::{answer} $$ t = -\dfrac{6}{7} $$ :::: ::::{solution} Vi bruker samme strategi som i oppgave **a**. For at de to vektorene skal være ortogonale, må prikkproduktet være lik $0$: $$ \vec{q} \cdot \vec{p} = 0 $$ Vi løser likningen med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/5/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Altså vil $\vec{p}$ og $\vec{q}$ være ortogonale dersom $$ t = -\dfrac{6}{7} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 6 (6 poeng) --- class: exercise, full-width --- Nedenfor ser du åtte grafer. * En av grafene er grafen til en funksjon på formen $f(x) = a^x$ der $a$ er positivt helt tall. * Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $f(x) = x^b - c$ der $b$ og $c$ er positive hele tall. * Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 4 fontsize: 30 --- :::{plot} function: 2**(x - 1) lw: 4 text: -4, 4, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 - 1 lw: 4 text: -4, 4, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 6*x lw: 4 text: -4, 4, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 3 * x**2 lw: 4 text: -4, 4, "D", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**2 - 2 lw: 4 text: -4, 4, "E", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**4 - 1 lw: 4 text: -4, 4, "F", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2**x lw: 4 text: -4, 4, "G", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2 lw: 4 text: -4, 4, "H", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Sorter grafene i par. De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte til funksjonen. ::::{answer} * $G'' = A$ * $E'' = H$ * $B'' = C$ * $F'' = D$ :::: ::::{solution} * Både graf $A$ og graf $B$ representerer eksponentialfunksjoner. Vi kan se at $G(x) = a^x$ siden $G(0) = 1$. Dermed må $A(x) = G''(x) = a^x \cdot (\ln a)^2$. * Graf $B$ er en tredjegradsfunksjon som betyr at $B''(x)$ må være en lineær funksjon. Da følger det at $C(x) = B''(x)$. * Graf $F$ er en fjerdegradsfunksjon på formen $F(x) = x^4 - c$, så $F''(x)$ er en andregradsfunksjon som må gå gjennom origo. Derfor er $D(x) = F''(x)$. * Graf $E$ viser en andregradsfunksjon $E(x) = x^2 - c$, som betyr at $E''(x) = 2$. Derfor må $H(x) = E''(x)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafen til funksjoner som har en omvendt funksjon? ::::{answer} $A$, $B$, $C$ og $G$ har omvendte funksjoner. :::: ::::{solution} For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, holder her å sjekke hvilke funksjoner som er monotone. Graf $A$, $B$, $C$ og $G$ er strengt voksende og har dermed omvendte funksjoner. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::