Oppgaver: Logaritmer

Oppgaver: Logaritmer#

Oppgave 1

I figuren nedenfor vises grafen til eksponentialfunksjonen

\[ f(x) = 10^x \]

Bruk grafen til å lese av omtrentlige verdier for oppgavene nedenfor.

a

Bestem \(\log_{10}(5)\)

Fasit

\[ \log_{10}(5) \approx 0.7 \]

Løsning

Vi ser fra grafen at når \(y = 5\), så er \(x \approx 0.7\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(10^x\) som gir oss \(\log_{10}(y)\), så har vi at

\[ \log_{10}(5) \approx 0.7. \]

b

Bestem \(\log_{10}(2)\)

Fasit

\[ \log_{10}(2) \approx 0.3 \]

Løsning

Vi ser fra grafen at når \(y = 2\), så er \(x \approx 0.3\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(10^x\) som gir oss \(\log_{10}(y)\), så har vi at

\[ \log_{10}(2) \approx 0.3. \]

c

Bestem \(\log_{10}(8)\)

Fasit

\[ \log_{10}(8) \approx 0.9 \]

Løsning

Vi ser fra grafen at når \(y = 8\), så er \(x \approx 0.9\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(10^x\) som gir oss \(\log_{10}(y)\), så har vi at

\[ \log_{10}(8) \approx 0.9. \]

d

Bestem \(\log_{10}(10)\)

Fasit

\[ \log_{10}(10) = 1 \]

Løsning

Vi ser fra grafen at når \(y = 10\), så er \(x = 1\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(10^x\) som gir oss \(\log_{10}(y)\), så har vi at

\[ \log_{10}(10) = 1. \]

Dette stemmer også bra med at vi må opphøye \(10\) med \(1\) for å få \(10\).

Oppgave 2

I figuren nedenfor vises grafen til eksponentialfunksjonen

\[ f(x) = 4^x \]

Bruk grafen til å lese av omtrentlige verdier for oppgavene nedenfor.

a

Bestem \(\log_4(4)\).

Fasit

\[ \log_4(4) = 1 \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer linja \(y = 4\) i \((1, 4)\) som betyr at \(x \approx 1\) når \(y = 4\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(4^x\) som gir oss \(\log_4(y)\), så har vi at

\[ \log_4(4) = 1. \]

b

Bestem \(\log_4(16)\).

Fasit

\[ \log_4(16) = 2 \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer linja \(y = 16\) i \((2, 16)\) som betyr at \(x \approx 2\) når \(y = 16\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(4^x\) som gir oss \(\log_4(y)\), så har vi at

\[ \log_4(16) = 2. \]

c

Bestem \(\log_4(2)\).

Fasit

\[ \log_4(2) = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer linja \(y = 2\) i \((0.5, 2)\) som betyr at \(x \approx 0.5\) når \(y = 2\). Siden det er \(x\)-koordinaten til \(4^x\) som gir oss \(\log_4(y)\), så har vi at

\[ \log_4(2) = \frac{1}{2} = 0.5. \]

Oppgave 3

a

I grafen nedenfor vises grafen til en logaritmefunksjon \(f(x) = \log_a(x)\).

Bestem verdien til grunntallet \(a\).

Hint

Uansett grunntall, så vil grafen til en logaritmefunksjon gå gjennom \((a, 1)\). Det betyr at \(\log_a(a) = 1\).

Fasit

\[ a = 4 \]

Løsning

Vi vet at \(\log_a(a) = 1\) siden grafen til en logaritmefunksjon alltid går gjennom \((a, 1)\). For grafen ovenfor er dette punktet \((4, 1)\) som betyr at grunntallet til logaritmen er

\[ a = 4 \]

b

I figuren nedenfor vises grafen til en logaritmefunksjon \(g(x) = \log_b(x)\).

Bestem verdien til grunntallet \(b\).

Fasit

\[ b = 6 \]

Løsning

Vi vet at \(\log_b(b) = 1\) siden grafen til en logaritmefunksjon alltid går gjennom \((b, 1)\). For grafen ovenfor er dette punktet \((6, 1)\) som betyr at grunntallet til logaritmen er

\[ b = 6 \]

c

I figuren nedenfor vises grafen til en logaritmefunksjon \(g(x) = \log_c(x)\).

Bestem verdien til grunntallet \(c\).

Fasit

\[ c = 3 \]

Løsning

Vi vet at \(\log_c(c) = 1\) siden grafen til en logaritmefunksjon alltid går gjennom \((c, 1)\). For grafen ovenfor er dette punktet \((3, 1)\) som betyr at grunntallet til logaritmen er

\[ c = 3 \]

Oppgave 4

a

Bestem \(\log_4(64)\)

Fasit

\[ \log_4(64) = 3 \]

Løsning

Vi skriver \(64\) som en potens av \(4\). Vi kan primtallsfaktorisere med faktortreet til høyre. Da får vi at

\[ 64 = 2^6 = 2^{2 \cdot 3} = (2^2)^3 = 4^3 \]

Dermed er

\[ \log_4(64) = \log_4(4^3) = 3 \]

b

Bestem \(\log_2(256)\).

Fasit

\[ \log_2(256) = 8 \]

Løsning

Vi ønsker å skrive \(256\) som en potens av \(2\). Vi kan primtallsfaktorisere med faktortreet til høyre. Da får vi at

\[ 256 = 2^8 \]

Dermed er

\[ \log_2(256) = \log_2(2^8) = 8 \]

c

Bestem \(\log_{10}(10000)\).

Fasit

\[ \log_{10}(10000) = 4 \]

Løsning

Vi ønsker å skrive om \(10000\) som en potens av \(10\) som vi kan gjøre ved:

\[ 10000 = 10^4 \]

siden \(10000\) har \(4\) nuller. Da får vi at

\[ \log_{10}(10000) = \log_{10}(10^4) = 4 \]

d

Bestem \(\log_3(81)\).

Fasit

\[ \log_3(81) = 4 \]

Løsning

Vi ønsker å skrive om \(81\) som en potens av \(3\). Vi kan oppnå dette ved å primtallsfaktorisere med faktortreet til høyre. Da får vi at

\[ 81 = 3^4 \]

Da følger det at

\[ \log_3(81) = \log_3(3^4) = 4 \]

Oppgave 5

a

Programmet nedenfor regner med en eksponentialfunksjon og skriver ut en verdi.

Les programmet og forutsi hva programmet skriver ut.

Hvilken logaritme kan du bestemme med utskriften til programmet?

Fasit

\[ \log_{10}(1000) = 3 \]

Løsning

Utskriften fra programmet er \(3\). Siden grunntallet til eksponentialfunksjonen er \(10\), betyr det at

\[ \log_{10}(1000) = 3 \]

b

Programmet nedenfor regner med en eksponentialfunksjon og skriver ut en verdi.

Les programmet og forutsi hva programmet skriver ut.

Hvilken logaritme kan du bestemme med utskriften til programmet?

Fasit

\[ \log_{7}(49) = 2 \]

Løsning

Utskriften fra programmet er \(2\). Siden grunntallet til eksponentialfunksjonen er \(7\), betyr det at

\[ \log_{7}(49) = 2 \]

c

Programmet nedenfor regner med en eksponentialfunksjon og skriver ut en verdi.

Les programmet og forutsi hva programmet skriver ut.

Hvilken logaritme kan du bestemme med utskriften til programmet?

Fasit

\[ \log_{2}(64) = 6 \]

Løsning

Utskriften fra programmet er \(6\). Siden grunntallet til eksponentialfunksjonen er \(2\), betyr det at

\[ \log_{2}(64) = 6 \]

Oppgave 6

I figuren nedenfor vises logaritmefunksjonen

\[ f(x) = \log_3(x). \]

Bruk grafen ovenfor til å finne omtrentlige svar i oppgavene nedenfor.

a

Løs likningen

\[ 3^x = 22 \]

Fasit

\[ x \approx 2.8 \]

Løsning

\(\log_3(x)\) gir oss hvilken verdi vi må opphøye \(3\) med for å få \(x\). Vi ser fra grafen at \(\log_3(22) \approx 2.8\) som betyr at løsningen av likningen er

\[ 3^x = 22 \liff x \approx 2.8 \]

b

Løs likningen

\[ 3^x = 6 \]

Fasit

\[ x \approx 1.6 \]

Løsning

\(\log_3(x)\) gir oss hvilken verdi vi må opphøye \(3\) med for å få \(x\). Vi ser fra grafen at \(\log_3(6) \approx 1.6\) som betyr at løsningen av likningen er

\[ 3^x = 6 \liff x \approx 1.6 \]

c

Løs likningen

\[ 3^x = 2 \]

Fasit

\[ x \approx 0.6 \]

Løsning

\(\log_3(x)\) gir oss hvilken verdi vi må opphøye \(3\) med for å få \(x\). Vi ser fra grafen at \(\log_3(2) \approx 0.6\) som betyr at løsningen av likningen er

\[ 3^x = 2 \liff x \approx 0.6 \]

Oppgave 7

I figuren nedenfor vises grafen til

\[ f(x) = 5^x \]

Du må her også lese av omtrentlige verdier. Men lurt å tenke på hvordan du kan faktorisere tallet ditt så du kan bruke produktregelen for logaritmer.

a

Bestem \(\log_5(10)\).

Hint

Faktoriser først \(10\) til to tall du kan lese av logaritmen for. Deretter bruk produktregelen for logaritmer til å bestemme \(\log_5(10)\).

Fasit

\[ \log_5(10) \approx 1.4 \]

Løsning

Vi kan ikke lese av \(\log_5(10)\) direkte fra grafen ovenfor, men vi kan skrive

\[ 10 = 2\cdot 5 \liff \log_5(10) = \log_5(2\cdot 5) = \log_5(2) + \log_5(5) \]

Fra grafen kan vi lese av at

\[ \log_5(2) \approx 0.4 \and \log_5(5) = 1 \]

Dermed er

\[ \log_5(10) = \log_5(2) + \log_5(5) \approx 0.4 + 1 = 1.4 \]

b

Bestem \(\log_5(14)\).

Fasit

\[ \log_5(14) \approx 1.6 \]

Løsning

Vi kan ikke lese av \(\log_5(14)\) direkte, men vi kan skrive

\[ 14 = 2 \cdot 7 \liff \log_5(14) = \log_5(2) + \log_5(7) \]

Vi kan lese av fra grafen at

\[ \log_5(2) \approx 0.4 \and \log_5(7) \approx 1.2 \]

Dermed er

\[ \log_5(14) = \log_5(2) + \log_5(7) \approx 0.4 + 1.2 = 1.6 \]

c

Bestem \(\log_5(20)\).

Fasit

\[ \log_5(20) \approx 1.8 \]

Løsning

Vi kan ikke lese av \(\log_5(20)\) direkte fra grafen, men vi kan skrive

\[ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \]

Da kan vi bruke produktregelen for logaritmer to ganger:

\[\begin{align*} \log_5(2\cdot 2 \cdot 5) &= \log_5(2 \cdot 2) + \log_5(5) \\ \\ &= \log_5(2) + \log_5(2) + \log_5(5) \\ \\ &= 2\log_5(2) + \log_5(5) \end{align*}\]

Vi kan lese av fra grafen at

\[ \log_5(2) \approx 0.4 \and \log_5(5) = 1 \]

Dermed har vi at

\[ \log_5(20) = 2\log_5(2) + \log_5(5) \approx 2\cdot 0.4 + 1 = 0.8 + 1 = 1.8 \]

Oppgave 8

I figuren nedenfor vises grafen til eksponentialfunksjonen

\[ f(x) = 10^x \]

a

Bestem \(\log_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right)\).

Hint

Les av \(\log_{10}(1)\) og \(\log_{10}(2)\). Bruk deretter kvotientregelen for å bestemme \(\log_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

Fasit

\[ \log_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right) \approx -0.3 \]

Løsning

Vi skriver først om uttrykket med kvotientregelen:

\[ \log_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \log_{10}(1) - \log_{10}(2) \]

Vi husker på at \(\log_{10}(1) = 0\) uansett hvilket grunntall det er. Men vi må bestemme \(\log_{10}(2)\). Vi ser at grafen omtrent går gjennom \((0.3, 2)\). Det betyr at

\[ \log_{10}(2) \approx 0.3 \]

Dermed har vi at

\[ \log_{10}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0 - 0.3 = -0.3 \]

b

Bestem \(\log_{10}\left(\dfrac{5}{2}\right)\).

Fasit

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{2}\right) \approx 0.4 \]

Løsning

Vi kan ikke lese av \(\log_{10}\left(\dfrac{5}{2}\right)\) direkte, men vi kan bruke kvotientregelen til å skrive om uttrykket til

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{2}\right) = \log_{10}(5) - \log_{10}(2) \]

Deretter leser vi at \(\log_{10}(5)\) og \(\log_{10}(2)\) fra grafen. Vi ser at grafen omtrent går gjennom \((0.7, 5)\) og \((0.3, 2)\). Det betyr at

\[ \log_{10}(5) \approx 0.7 \and \log_{10}(2) \approx 0.3 \]

Dermed har vi at

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{2}\right) \approx 0.7 - 0.3 = 0.4 \]

c

Bestem \(\log_{10}\left(\dfrac{5}{8}\right)\).

Fasit

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{8}\right) \approx -0.2 \]

Løsning

Vi kan ikke lese av \(\log_{10}\left(\dfrac{5}{8}\right)\) direkte, men vi kan bruke kvotientregelen til å skrive om uttrykket til

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{8}\right) = \log_{10}(5) - \log_{10}(8) \]

Deretter leser vi at \(\log_{10}(5)\) og \(\log_{10}(8)\) fra grafen. Vi ser at grafen omtrent går gjennom \((0.7, 5)\) og \((0.9, 8)\). Det betyr at

\[ \log_{10}(5) \approx 0.7 \and \log_{10}(8) \approx 0.9 \]

Dermed har vi at

\[ \log_{10}\left(\dfrac{5}{8}\right) \approx 0.7 - 0.9 = -0.2 \]

Oppgave 9

I grafen nedenfor vises grafen til logaritmefunksjonen

\[ f(x) = \log_3(x) \]

Bruk grafen ovenfor til å lese av omtrentlige verdier for logaritmene i oppgavene nedenfor.

a

Bestem \(\log_3(6^4)\).

Hint

Kan du lese av en omtrentlig verdi for \(\log_3(6)\) og så bruke potensregelen for logaritmer til å bestemme \(\log_3(6^4)\)?

Fasit

\[ \log_3(6^4) \approx 6.4 \]

Løsning

Vi skriver om uttrykket med potensregelen for logaritmer:

\[ \log_3(6^4) = 4 \cdot \log_3(6) \]

Deretter ser vi om vi kan lese av en omtrentlig verdi for \(\log_3(6)\) fra grafen. Vi ser at grafen går gjennom punktet \((6, 1.6)\) som betyr at

\[ \log_3(6) \approx 1.6 \]

Dermed har vi at

\[ \log_3(6^4) = 4 \cdot 1.6 = 6.4 \]

b

Bestem \(\log_3(6^{7})\).

Fasit

\[ \log_3(6^{7}) \approx 11.2 \]

Løsning

Vi skriver om uttrykket med potensregelen for logaritmer:

\[ \log_3(6^{7}) = 7 \cdot \log_3(6) \]

Deretter ser vi om vi kan lese av en omtrentlig verdi for \(\log_3(6)\) fra grafen. Vi ser at grafen går gjennom punktet \((6, 1.6)\) som betyr at

\[ \log_3(6) \approx 1.6 \]

Dermed har vi at

\[ \log_3(6^{7}) = 7 \cdot 1.6 = 11.2 \]

c

Bestem \(\log_3(7^{10})\).

Fasit

\[ \log_3(7^{10}) \approx 18 \]

Løsning

Vi skriver om uttrykket med potensregelen for logaritmer:

\[ \log_3(7^{10}) = 10 \cdot \log_3(7) \]

Deretter ser vi om vi kan lese av en omtrentlig verdi for \(\log_3(7)\) fra grafen. Vi ser at grafen går gjennom punktet \((7, 1.8)\) som betyr at

\[ \log_3(7) \approx 1.8 \]

Dermed har vi at

\[ \log_3(7^{10}) \approx 10 \cdot 1.8 = 18 \]

Oppgave 10

Nedenfor vises en samtale mellom Anna og Bjørn.

Anna

Jeg vil lage et program som regner ut logaritmen \(\log_3(y)\) for en tilfeldig verdi av \(y\) så lenge \(y > 0\).

Bjørn

Men trenger du ikke bare å øke \(x\) frem til \(3^x < y\) ikke lenger er sant? Da blir \(x \approx \log_3(y)\).

Anna

Sant! Kan jeg ikke gjøre det med en while-løkke som starter med x = 0?

Bjørn

Jeg tror kanskje ikke det funker når \(y \in \langle 0, 1\rangle\)?

a

Lag et program som bruker strategien Anna og Bjørn foreslår, og bruk det til å bestemme \(\log_3(70)\).

Sjekk først at programmet ditt gir riktig svar for \(\log_3(1)\) og \(\log_3(2)\) så du vet at programmet ditt funker som det skal.

Fasit

\[ \log_3(70) \approx 3.867 \]

Løsning

x = 0
while 3**x < 70:
    x = x + 0.0001
    
print(x)

som gir utskriften

3.8672000000037365

Dermed er

\[ \log_3(70) \approx 3.867 \]

b

Tenk over den siste innvendingen til Bjørn, og juster programmet ditt slik at du kan bestemme \(\log_3(0.1)\).

Hva blir verdien til \(\log_3(0.1)\)?

Fasit

\[ \log_3(0.1) \approx -2.1 \]

Løsning

Vi må senke verdien til \(x\) fremfor å øke den, siden \(3^x\) blir bare mindre enn \(1\) dersom \(x < 0\). Da kan vi skrive et program som dette:

x = 0
while 3**x > 0.1:
    x = x - 0.001
    
print(x)

Utskriften blir

-2.09599999999988

som betyr at

\[ \log_3(0.1) \approx -2.1 \]

Oppgave 11

Regn ut.

a

\[ \log_{10}(10^{-2}) \]

Fasit

\[ \log_{10}(10^{-2}) = -2 \]

Løsning

Vi bruker potensregelen for logaritmer:

\[ \log_{10}(10^{-2}) = -2 \cdot \log_{10}(10) = -2 \cdot 1 = -2. \]

b

\[ \log_2(4^{-2}) \]

Fasit

\[ \log_2(4^{-2}) = -4 \]

Løsning

Vi bruker potensregelen for logaritmer:

\[ \log_2(4^{-2}) = -2 \cdot \log_2(4). \]

Deretter kan vi merke oss at \(4 = 2^2\), som betyr at \(\log_2(2^2) = 2\). Da følger det at

\[ \log_2(4^{-2}) = -2 \cdot \log_2(4) = -2 \cdot 2 = -4. \]

c

\[ \log_3(9^{-4}) \]

Fasit

\[ \log_3(9^{-4}) = -8 \]

Løsning

Vi bruker potensregelen for logaritmer:

\[ \log_3(9^{-4}) = -4 \cdot \log_3(9) = -4 \cdot 2 = -8. \]

Her har vi brukt at \(9 = 3^2\) som betyr at \(\log_3(9) = 2\).

d

\[ \log_5(25^{-8}) \]

Fasit

\[ \log_5(25^{-8}) = -16 \]

Løsning

Vi bruker potensregelen for logaritmer:

\[ \log_5(25^{-8}) = -8 \cdot \log_5(25) = -8 \cdot 2 = -16. \]

Her har vi brukt at \(25 = 5^2\) som betyr at \(\log_5(25) = 2\).

Oppgave 12

Skriv så enkelt som mulig.

a

\[ \log_a(x y^3) + \log_{a}\left(\dfrac{x}{y}\right) \]

Fasit

\[ 2 \log_a(xy) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a(x y^3) + \log_{a}\left(\dfrac{x}{y}\right) &= \log_a(x) + \log_a(y^3) + \log_{a}(x) - \log_{a}(y) \\ \\ &= 2\log_a(x) + 3\log_a(y) - \log_a(y) \\ \\ &= 2\log_a(xy). \end{align*}\]

b

\[ \log_a(x^3 y^2) - 2\log_a(x y) \]

Fasit

\[ \log_a(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a(x^3 y^2) - 2\log_a(x y) &= \log_a(x^3) + \log_a(y^2) - 2\left(\log_a(x) + \log_a(y)\right) \\ \\ &= 3\log_a(x) + 2\log_a(y) - 2\log_a(x) - 2\log_a(y) \\ \\ &= \log_a(x). \end{align*}\]

c

\[ \log_a\left(\dfrac{x^5}{y^2}\right) - \log_a(x^2 y) \]

Fasit

\[ 3\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{x^5}{y^2}\right) - \log_a(x^2 y) &= \log_a(x^5) - \log_a(y^2) - \log_a(x^2) - \log_a(y) \\ \\ &= 5\log_a(x) - 2\log_a(y) - 2\log_a(x) - \log_a(y) \\ \\ &= 3\log_a(x) - 3\log_a(y) \\ \\ &= 3\left(\log_a(x) - \log_a(y)\right) \\ \\ &= 3\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) \end{align*}\]

d

\[ \dfrac{1}{2}\log_a(x) - \log_a\left(\sqrt[4]{x}\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{1}{4}\log_a(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{1}{2}\log_a(x) - \log_a\left(\sqrt[4]{x}\right) &= \dfrac{1}{2}\log_a(x) - \log_a\left(x^{1/4}\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\log_a(x) - \dfrac{1}{4}\log_a(x) \\ \\ &= \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right)\log_a(x) \\ \\ &= \dfrac{1}{4}\log_a(x). \end{align*}\]

Oppgave 13

Utvid uttrykkene nedenfor til en sum av logaritmer.

a

\[ \log_a(6x^3 y) \]

Fasit

\[ \log_a(6) + 3\log_a(x) + \log_a(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a(6x^3 y) &= \log_a(6) + \log_a(x^3) + \log_a(y) \\ \\ &= \log_a(6) + 3\log_a(x) + \log_a(y) \end{align*}\]

b

\[ \log_a\left(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{5y}\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{2}{3}\log_a(x) - \log_a(y) - \log_a(5) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{5y}\right) &= \log_a(\sqrt[3]{x^2}) - \log_a(5y) \\ \\ &= \log_a(x^{2/3}) - \left(\log_a(5) + \log_a(y)\right) \\ \\ &= \dfrac{2}{3}\log_a(x) - \log_a(y) - \log_a(5) \end{align*}\]

c

\[ \log_a\left(\dfrac{25x^4}{\sqrt{y}}\right) \]

Fasit

\[ 2\log_a(5) + 4\log_a(x) - \dfrac{1}{2}\log_a(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{25x^4}{\sqrt{y}}\right) &= \log_a(25x^4) - \log_a(\sqrt{y}) \\ \\ &= \log_a(25) + \log_a(x^4) - \log_a(y^{1/2}) \\ \\ &= \log_a(5^2) + 4\log_a(x) - \dfrac{1}{2}\log_a(y) \\ &= 2\log_a(5) + 4\log_a(x) - \dfrac{1}{2}\log_a(y) \end{align*}\]

d

\[ \log_a\left(\dfrac{(3x^2y^5)^4}{2x}\right) \]

Fasit

\[ 4\log_a(3) - \log_a(2) + 7\log_a(x) + 20\log_a(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{(3x^2y^5)^4}{2x}\right) &= \log_a\left((3x^2y^5)^4\right) - \log_a(2x) \\ \\ &= \log_a(3^4 x^8 y^{20}) - \left(\log_a(2) + \log_a(x)\right) \\ \\ &= \log_a(3^4) + \log_a(x^8) + \log_a(y^{20}) - \log_a(2) - \log_a(x) \\ \\ &= 4\log_a(3) + 8\log_a(x) + 20\log_a(y) - \log_a(2) - \log_a(x) \\ \\ &= 4\log_a(3) - \log_a(2) + 7\log_a(x) + 20\log_a(y) \end{align*}\]

Oppgave 14

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig.

a

\[ \log_a(x^2 y^3) - \log_a(xy) \]

Fasit

\[ \log_a(x y^2) \]

eller

\[ \log_a(x) + 2\log_a(y) \]

Løsning

\[ \log_a(x^2 y^3) - \log_a(xy) = \log_a\left(\dfrac{x^2 y^3}{xy}\right) = \log_a(x y^2) \]

Eventuelt som en sum:

\[ \log_a(x y^2) = \log_a(x) + \log_a(y^2) = \log_a(x) + 2\log_a(y) \]

b

\[ \log_a\left(\dfrac{x^4}{y^2}\right) + \log_a(y) \]

Fasit

\[ 4\log_a(x) - \log_a(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{x^4}{y^2}\right) + \log_a(y) &= \log_a(x^4) - \log_a(y^2) + \log_a(y) \\ \\ &= 4\log_a(x) - 2\log_a(y) + \log_a(y) \\ \\ &= 4\log_a(x) - \log_a(y) \end{align*}\]

c

\[ \log_a\left(\dfrac{x^3}{y}\right) - 2\log_a(x) \]

Fasit

\[ \log_a(x) - \log_a(y) \]

eller

\[ \log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \log_a\left(\dfrac{x^3}{y}\right) - 2\log_a(x) &= \log_a(x^3) - \log_a(y) - 2\log_a(x) \\ \\ &= 3\log_a(x) - \log_a(y) - 2\log_a(x) \\ \\ &= \log_a(x) - \log_a(y) \end{align*}\]

Som vi også kan skrive som

\[ \log_a(x) - \log_a(y) = \log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) \]

d

\[ \log_a\left((x^2 - 9)(x + 3)\right) - \log_a(x - 3) \]

Fasit

\[ 2 \log_a(x + 3) \]

Løsning

Vi husker først på at konjugatsetningen gir oss

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

Da får vi

\[\begin{align*} \log_a\left((x^2 - 9)(x + 3)\right) - \log_a(x - 3) &= \log_a\left( (x - 3)(x+3)(x+3) \right) - \log_a(x - 3) \\ \\ &= \log_a\left((x - 3)(x + 3)^2\right) - \log_a(x - 3) \\ \\ &= \log_a\left(\dfrac{\cancel{(x - 3)}(x + 3)^2}{\cancel{x - 3}}\right) \\ \\ &= \log_a((x + 3)^2) \\ \\ &= 2 \log_a(x + 3) \end{align*}\]

Oppgave 15

Det er såpass vanlig å jobbe med logaritmen med grunntall \(10\), at man har innført en kortere notasjon for den. Vi definerer \(\lg(x) = \log_{10}(x)\). Denne logaritmen er viktig fordi den bruker 10-tallssystemet.

Skriv så enkelt som mulig.

a

\[ \lg\left(\dfrac{100x}{0.1y}\right) \]

Fasit

\[ \lg(x) - \lg(y) + 3 \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg\left(\dfrac{100x}{0.1y}\right) &= \lg(100x) - \lg(0.1y) \\ \\ &= \lg(100) + \lg(x) - \left(\lg(0.1) + \lg(y)\right) \\ \\ &= \lg(10^2) + \lg(x) - \lg(0.1) - \lg(y) \\ \\ &= 2\lg(10) + \lg(x) - \lg(10^{-1}) - \lg(y) \\ \\ &= 2 + \lg(x) - (-1) \cdot \lg(10) - \lg(y) \\ \\ &= 2 + \lg(x) + 1 - \lg(y) \\ \\ &= \lg(x) - \lg(y) + 3 \end{align*}\]

b

\[ \lg\left(\sqrt{x}{y^3}\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{1}{2}\lg(x) + 3 \lg(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg\left(\sqrt{x}{y^3}\right) &= \lg(\sqrt{x}) + \lg(y^3) \\ \\ &= \lg(x^{1/2}) + 3 \lg(y) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\lg(x) + 3 \lg(y) \end{align*}\]

c

\[ \lg(25x^4) - \lg(5x) \]

Fasit

\[ \lg(5) + 3\lg(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg(25x^4) - \lg(5x) &= \lg(25) + \lg(x^4) - \lg(5) - \lg(x) \\ \\ &= \lg(5^2) + 4\lg(x) - \lg(5) - \lg(x) \\ \\ &= 2\lg(5) + 3\lg(x) - \lg(5) \\ \\ &= \lg(5) + 3\lg(x) \end{align*}\]

d

\[ \lg\left(\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{1}{2}\lg(x) - \dfrac{3}{2}\lg(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg\left(\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}\right) &= \lg\left(\left(\dfrac{x}{y^3}\right)^{1/2}\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\lg\left(\dfrac{x}{y^3}\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\lg(x) - \dfrac{1}{2}\lg(y^3) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\lg(x) - \dfrac{3}{2}\lg(y) \end{align*}\]

Oppgave 16

Så langt har vi jobbet med grunntall som er hele tall. Nå skal vi se på et grunntall som har en veldig spesiell egenskap: Eksponentialfunksjonen med dette grunntallet er den eneste funksjonen som er lik sin egen deriverte overalt! Grunntallet kalles Eulers tall (leses: “Oilers tall”) og vi skriver det som \(e\).

Bernoulli

Jeg har tenkt på dette med renter. Hvis jeg setter inn \(1 \, \mathrm{kr}\) i banken og får \(100 \%\) rente en gang i året, så dobles pengene til \(2 \, \mathrm{kr}\).

Euler

Det gir mening. Men hva om banken betaler ut renten oftere, for eksempel halvårlig?

Bernoulli

Da vokser pengene med \(50 \%\) to ganger. Det blir \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^2 = 2.25 \, \mathrm{kr}\).

Euler

Aha, så vi får mer enn \(2 \, \mathrm{kr}\)! Hva om vi får rente fire ganger i året, altså \(25 \%\) av gangen?

Bernoulli

Da får vi \(\left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^4 = 2.4414 \, \mathrm{kr}\). Enda litt mer!

Euler

Interessant … jeg lurer på hva som skjer hvis vi øker antallet renteutbetalinger mot uendelig mange ganger i året.

Det Euler og Bernoulli snakker om ovenfor vil lede fram til en god tilnærming til verdien til tallet \(e\).

Bruk programmet nedenfor til å bestemme tallet \(e\) med \(5\) desimaler. Hvor mye vil \(1 \, \mathrm{kr}\) vokse til etter ett år hvis vi får \(100 \%\) rente til sammen, når banken betaler ut renten veldig ofte?

Fasit

n = 1
while n < 100_000_000:

    e = (1 + 1/n)**n
    n = n * 10

    print(f"{e = :0.5f}") # skriver ut verdien med 5 desimaler

\[ e \approx 2.71828 \]

Oppgave 17

Når vi bruker \(e\) som grunntall for en logaritme, så skriver vi \(\ln(x)\). Det vil si at \(\ln(x) = \log_e(x)\).

Skriv om til en sum av logaritmer som er så enkle som mulig.

a

\[ \ln(xy^2) + 4 \ln(x^3 y) - 2\ln(xy^6) \]

Fasit

\[ 11\ln(x) - 6\ln(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} &\ln(xy^2) + 4 \ln(x^3 y) - 2\ln(xy^6)\\ \\ &= \ln(x) + 2\ln(y) + 4(3\ln(x) + \ln(y)) - 2(\ln(x) + 6\ln(y)) \\ \\ &= 11\ln(x) - 6\ln(y) \end{align*}\]

b

\[ \ln\left(\dfrac{5x^3}{\sqrt[4]{y^2}}\right) \]

Fasit

\[ \ln(5) + 3\ln(x) - \dfrac{1}{2}\ln(y) \]

Løsning

\[\begin{align*}\ln\left(\dfrac{5x^3}{\sqrt[4]{y^2}}\right) &= \ln(5x^3) - \ln\left(\sqrt[4]{y^2}\right) \\ \\ &= \ln(5x^3) - \dfrac{1}{4}\ln(y^2) \\ \\ &= \ln(5) + 3\ln(x) - \dfrac{1}{2}\ln(y) \end{align*}\]

c

\[ \ln \left(\sqrt[3]{a^2 b^5}\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{2}{3} \ln(a) + \dfrac{5}{3} \ln(b) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln \left(\sqrt[3]{a^2 b^5}\right) &= \ln \left((a^2 b^5)^{1/3}\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{3} \ln(a^2 b^5) \\ \\ &= \dfrac{1}{3} \left(2\ln(a) + 5\ln(b)\right) \\ \\ &= \dfrac{2}{3} \ln(a) + \dfrac{5}{3} \ln(b) \end{align*}\]

d

\[ \ln (e^3 x \sqrt{y}) \]

Fasit

\[ 3 + \ln (x) + \dfrac{1}{2} \ln (y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln (e^3 x \sqrt{y}) &= \ln (e^3) + \ln (x) + \ln (\sqrt{y}) \\ \\ &= 3 + \ln (x) + \dfrac{1}{2} \ln (y) \end{align*}\]

Oppgave 18

Trekk sammen og skriv som én logaritme.

a

\[ 2 \ln(x) - \ln(5) + \dfrac{1}{2}\ln(y) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{x^2 \sqrt{y}}{5}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} & 2\ln(x) - \ln(5) + \dfrac{1}{2}\ln(y) \\ \\ &= \ln(x^2) - \ln(5) + \ln\!\left(y^{1/2}\right) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{x^2\,y^{1/2}}{5}\right) \\ &= \ln\left(\dfrac{x^2 \sqrt{y}}{5}\right) \end{align*}\]

b

\[ 3 \ln(a) - 2\ln(b) + \ln(4) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{4a^3}{b^2}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} & 3\ln(a) - 2\ln(b) + \ln(4) \\ \\ &= \ln(a^3) - \ln(b^2) + \ln(4) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{4a^3}{b^2}\right) \end{align*}\]

c

\[ \dfrac{1}{3}\ln(x) + \dfrac{2}{5}\ln(y) - \ln(z) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{x^{1/3} y^{2/5}}{z}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} & \dfrac{1}{3}\ln(x) + \dfrac{2}{5}\ln(y) - \ln(z) \\ \\ &= \ln\!\left(x^{1/3}\right) + \ln\!\left(y^{2/5}\right) - \ln(z) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{x^{1/3} y^{2/5}}{z}\right) \end{align*}\]

d

\[ \ln(x) + \ln(x + 1) - \dfrac{1}{2}\ln(3) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{3}}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} & \ln(x) + \ln(x+1) - \dfrac{1}{2}\ln(3) \\ \\ &= \ln\bigl(x(x+1)\bigr) - \ln\!\left(3^{1/2}\right) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{x(x+1)}{3^{1/2}}\right) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{3}}\right) \end{align*}\]

Oppgave 19

Trekk sammen og skriv som én logaritme.

a

\[ \ln(3) + 2\ln(x) - \dfrac{1}{2}\ln(y) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{3x^2}{\sqrt{y}}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} &\ln(3) + 2\ln(x) - \dfrac{1}{2}\ln(y) \\ \\ &= \ln(3) + \ln(x^2) - \ln\!\left(y^{1/2}\right) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{3x^2}{\sqrt{y}}\right) \end{align*}\]

b

\[ 3\ln(x+1) - \ln(x) - \ln(2) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{(x+1)^3}{2x}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} &3\ln(x+1) - \ln(x) - \ln(2) \\ \\ &= \ln\bigl((x+1)^3\bigr) - \ln(2x) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{(x+1)^3}{2x}\right) \end{align*}\]

c

\[ \dfrac{1}{3}\ln(x^2 y) + \ln(5) - \ln(x) \]

Fasit

\[ \ln\left(5\,\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)^{\!1/3}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} & \dfrac{1}{3}\ln(x^2 y) + \ln(5) - \ln(x) \\ \\ &= \ln\!\left((x^2 y)^{1/3}\right) + \ln(5) - \ln(x) \\ \\ &= \ln\!\left(5\,x^{2/3} y^{1/3}\right) - \ln(x) \\ \\ &= \ln\!\left(\dfrac{5\,x^{2/3} y^{1/3}}{x}\right) \\ &= \ln\!\left(5\,x^{-1/3} y^{1/3}\right) \\ \\ &= \ln\left(5\,\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)^{1/3}\right) \end{align*}\]

d

\[ 4 \ln(2x) - \ln(8) - 2\ln(x) \]

Fasit

\[ \ln\bigl(2x^2\bigr) \]

Løsning

\[\begin{align*} & 4\ln(2x) - \ln(8) - 2\ln(x) \\ \\ &= \ln\bigl((2x)^4\bigr) - \ln(8) - \ln(x^2) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{(2x)^4}{8x^2}\right) \\ \\ &= \ln\left(\dfrac{16x^4}{8x^2}\right) \\ \\ &= \ln\left(2x^2\right) \end{align*}\]

Oppgave 20

Trekk sammen og skriv som én logaritme.

a

\[ \lg(5) + 2\lg(x) - \dfrac{1}{2}\lg(y) \]

Fasit

\[ \lg\left(\dfrac{5x^2}{\sqrt{y}}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg(5) + 2\lg(x) - \dfrac{1}{2}\lg(y) &= \lg(5) + \lg(x^2) - \lg\!\left(y^{1/2}\right) \\ \\ &= \lg\left(\dfrac{5x^2}{\sqrt{y}}\right) \end{align*}\]

b

\[ 3\lg(x+1) - \lg(2) - \lg(x) \]

Fasit

\[ \lg\left(\dfrac{(x+1)^3}{2x}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} 3\lg(x+1) - \lg(2) - \lg(x) &= \lg\bigl((x+1)^3\bigr) - \lg(2x) \\ \\ &= \lg\left(\dfrac{(x+1)^3}{2x}\right) \end{align*}\]

c

\[ \dfrac{1}{3}\lg(25x^2) + \lg(y) - 2\lg(5) \]

Fasit

\[ \lg\left(\dfrac{x^{2/3} y}{5^{4/3}}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{1}{3}\lg(25x^2) + \lg(y) - 2\lg(5) &= \dfrac{1}{3}\bigl(\lg(25) + 2\lg(x)\bigr) + \lg(y) - 2\lg(5) \\ \\ &= \dfrac{2}{3}\lg(5) + \dfrac{2}{3}\lg(x) + \lg(y) - 2\lg(5) \\ \\ &= \dfrac{2}{3}\lg(x) + \lg(y) - \dfrac{4}{3}\lg(5) \\ \\ &= \lg\left(\dfrac{x^{2/3} y}{5^{4/3}}\right) \end{align*}\]

d

\[ 4\lg(3x) - \lg(9) - \lg(x) \]

Fasit

\[ \lg\bigl(9x^3\bigr) \]

Løsning

\[\begin{align*} 4\lg(3x) - \lg(9) - \lg(x) &= \lg\bigl((3x)^4\bigr) - \lg(9) - \lg(x) \\ \\ &= \lg\left(\dfrac{(3x)^4}{9x}\right) \\ \\ &= \lg\left(\dfrac{81x^4}{9x}\right) = \lg(9x^3) \end{align*}\]

Oppgave 21

Skriv så enkelt som mulig.

a

\[ \ln\left(\dfrac{e^5}{x^3}\right) \]

Fasit

\[ 5 - 3\ln(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln\left(\dfrac{e^5}{x^3}\right) &= \ln(e^5) - \ln(x^3) \\ &= 5 - 3\ln(x) \end{align*}\]

b

\[ \ln\left(\sqrt{\dfrac{e^2 x}{y^3}}\right) \]

Fasit

\[ 1 + \dfrac{1}{2}\ln(x) - \dfrac{3}{2}\ln(y) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln\left(\sqrt{\dfrac{e^2 x}{y^3}}\right) &= \dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{e^2 x}{y^3}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\big(\ln(e^2) + \ln(x) - 3\ln(y)\big) \\ &= \dfrac{1}{2}\big(2 + \ln(x) - 3\ln(y)\big) \\ &= 1 + \dfrac{1}{2}\ln(x) - \dfrac{3}{2}\ln(y) \end{align*}\]

c

\[ \ln \left((e^3 x^2)^3\right) - \ln (e^6 x) \]

Fasit

\[ 3 + 5\ln(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln \left((e^3 x^2)^3\right) - \ln (e^6 x) &= \ln\big(e^9 x^6\big) - \ln\big(e^6 x\big) \\ &= \ln\left(\dfrac{e^9 x^6}{e^6 x}\right) \\ &= \ln\big(e^3 x^5\big) \\ &= 3 + 5\ln(x) \end{align*}\]

d

\[ \ln\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{e x^3}}\right) + \ln (5e^2 x) \]

Fasit

\[ \ln(5) + \dfrac{5}{3} \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{e x^3}}\right) + \ln (5e^2 x) &= -\,\ln\big(\sqrt[3]{e x^3}\big) + \ln(5) + \ln(e^2) + \ln(x) \\ &= -\,\dfrac{1}{3}\,\ln(e x^3) + \ln(5) + 2 + \ln(x) \\ &= -\,\dfrac{1}{3}\big(\ln(e) + 3\ln(x)\big) + \ln(5) + 2 + \ln(x) \\ &= -\,\dfrac{1}{3} - \ln(x) + \ln(5) + 2 + \ln(x) \\ &= \ln(5) + \dfrac{5}{3} \end{align*}\]

Oppgave 22

Skriv så enkelt som mulig.

a

\[ 5 \lg(x^3) + \lg\left(\dfrac{1}{x^2}\right) + \lg(1000x^5) \]

Fasit

\[ \lg\bigl(1000\,x^{18}\bigr) \]

Løsning

\[\begin{align*} 5\,\lg(x^3) + \lg\left(\dfrac{1}{x^2}\right) + \lg(1000x^5) &= \lg\bigl((x^3)^5\bigr) + \lg\left(\dfrac{1}{x^2}\right) + \lg(1000x^5) \\ &= \lg\left(\dfrac{x^{15}\cdot 1000x^5}{x^2}\right) \\ &= \lg\bigl(1000\,x^{18}\bigr) \end{align*}\]

b

\[ lg(\sqrt[3]{x^6}) + 10 \lg(\sqrt[5]{x}) - \lg(x^3) \]

Fasit

\[ \lg(x) \]

Løsning

\[\begin{align*} \lg\big(\sqrt[3]{x^6}\big) + 10\,\lg\big(\sqrt[5]{x}\big) - \lg(x^3) &= \lg(x^2) + 10\,\lg\big(x^{1/5}\big) - 3\lg(x) \\ &= 2\lg(x) + 2\lg(x) - 3\lg(x) \\ &= \lg(x) \end{align*}\]

c

\[ \ln(x^3) + \ln \left(\dfrac{e^2}{x^5}\right) - \ln \left(\dfrac{e^{-2}}{x}\right) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{e^{4}}{x}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln(x^3) + \ln\left(\dfrac{e^2}{x^5}\right) - \ln\left(\dfrac{e^{-2}}{x}\right) &= \ln\left(\dfrac{x^3\,e^2}{x^5}\right) - \big(\ln(e^{-2}) - \ln x\big) \\ &= \ln\big(e^2 x^{-2}\big) - (-2 - \ln x) \\ &= 2 - 2\ln x + 2 + \ln x \\ &= 4 - \ln x \\ &= \ln\left(\dfrac{e^{4}}{x}\right) \end{align*}\]

d

\[ \ln(x^2 - e^2) + \ln(x + 3) - 2\ln(x - e) \]

Fasit

\[ \ln\left(\dfrac{(x+e)(x+3)}{x-e}\right) \]

Løsning

\[\begin{align*} \ln(x^2 - e^2) + \ln(x + 3) - 2\ln(x - e) &= \ln\left(\dfrac{(x^2 - e^2)(x+3)}{(x-e)^2}\right) \\ &= \ln\left(\dfrac{(x-e)(x+e)(x+3)}{(x-e)^2}\right) \\ &= \ln\left(\dfrac{(x+e)(x+3)}{x-e}\right) \end{align*}\]

Oppgave 23

Det er mulig å bytte fra en logaritme med grunntall \(a\), \(\log_a(x)\), til en logaritme med grunntall \(b\), \(\log_b(x)\). Noen ganger vil det gjøre det enklere å regne ut logaritmen avhengig av hvilket tall \(x\) vi jobber med.

a

Forklar at hvis \(x = a^p\) så er

\[ p = \log_a(x) \]

Fasit

\[ p = \log_a(x) \]

Løsning

Med definisjonen av logaritmen er \(\log_a(x)\) tallet \(p\) slik at \(a^p = x\).

b

Hvis \(x = a^q\), hva er da \(q\) lik?

Fasit

\[ q = \log_a(x) \]

Løsning

Samme definisjon: \(a^q = x\) gir \(q = \log_a(x)\).

c

Forklar at det må finnes et tall \(r\) slik at man kan skrive

\[ b = a^r \]

Hva blir da \(r\) lik?

Fasit

\[ r = \log_a(b) \]

Løsning

Per definisjon: \(a^r = b\) betyr \(r = \log_a(b)\).

d

Vis at med resultatene fra a, b og c, så vil følgende formel være sann:

\[ \log_b(x) = \dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \]

Fasit

\[ \log_b(x) = \dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \]

Løsning

La \(t = \log_b(x)\). Da er \(x = b^t\). Fra c) har vi \(b = a^r\) med \(r = \log_a(b)\), så

\[\begin{align*} x = b^t = (a^r)^t = a^{rt}\;\Rightarrow\; \log_a(x) = rt = \log_a(b)\,\log_b(x). \end{align*}\]

Dermed \(\displaystyle \log_b(x) = \dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\).