Logaritmelikninger og eksponentiallikninger

3. Logaritmelikninger og eksponentiallikninger#

Merk at i alle typene likninger nedenfor, så vil hvilken som helst logaritme funke. Vi bruker ofte den naturlige logaritmen \(\ln(x)\) eller den 10-logaritmen \(\lg(x)\) i eksemplene, men de samme strategiene funker uansett hvilken logaritme vi bruker.

Logaritmelikninger#

Type 1: \(\ln a = \ln b\) eller \(\ln a = b\).#

Eksempel 1

Løs likningen \(\ln(2x) = \ln(3x - 5)\).

Løsning

\[ \ln (2x) = \ln (3x - 5) \]
\[ 2x = 3x - 5 \]
\[ -x = -5 \]
\[ x = 5. \]

Eksempel 2

Løs likningen

\[ \lg (4x + 36) = 2 \]

Løsning

\[ \lg (4x + 36) = 2 \]
\[ 4x + 36 = 10^2 \]
\[ 4x = 100 - 36 \]
\[ 4x = 64 \]
\[ x = 16. \]

Type 2: \(\lg f(x) \pm \lg g(x) = k\)#

Strategi for likninger på formen \(\lg f(x) \pm \lg g(x) = k\)

  1. Bruk logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme \(\lg p(x)\).

  2. Bruk at \(\lg p(x) = k \iff p(x) = 10^{k}\) til å skrive om likningen til en eksponentiallikning

Eksempel 3

Løs likningen

\[ \lg x^2 + 2 \lg x^3 + \lg \dfrac{1}{x^4} = 8 \]

Løsning

Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme:

\[ \lg x^2 + 2 \lg x^3 + \lg \dfrac{1}{x^4} = 8 \]
\[ 2 \lg x + 2 \cdot 3 \lg x + \lg x^{-4} = 8 \]
\[ 2 \lg x + 6 \lg x - 4\lg x = 8 \]
\[ 4 \lg x = 8 \]
\[ \lg x = 2 \]
\[ x = 10^2 = 100 \]

Siden opprinnelige likningen inneholder en logaritme der vi bruker en potens av \(x\) som er opphøyd i et oddetall, så vil ikke noen negative løsninger være gyldige. Dermed vil den eneste mulige løsningen være

\[ x = 100 \]

Hvis derimot en likning bare inneholdt logaritmen til potenser av \(x^2\), \(x^4\), \(x^6\), så er en negativ løsning også gyldig. Hvis løsningen da var \(x = 100\), så ville \(x = -100\) og \(x = 100\) være gyldige løsninger siden både \((-100)^2\), \((-100)^4\), \((-100)^6\) og så videre er positive tall.

Eksempel 4

Løs likningen

\[ \lg x + \lg (x - 3) = 1 \]

Løsning

Vi samler venstresiden som én logaritme:

\[ \lg x + \lg (x - 3) = 1 \]
\[ \lg (x(x - 3)) = 1 \]

Så bruker vi at \(\lg p(x) = k \iff p(x) = 10^{k}\):

\[ x(x - 3) = 10^1 \]
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]
\[ x = \dfrac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 10}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]
\[ x = 5 \or x = -2 \]

Vi må sjekke at løsningene er gyldige. Vi ser at med \(x = -2\), så vil den opprinnelige likningen inneholde \(\lg(-2)\), som ikke er definert. Dermed er \(x = -2\) ikke en gyldig løsning. Med \(x = 5\) er begge logaritmene i den opprinnelige likningen definert, så dette er en gyldig løsning. Dermed er den eneste løsningen:

\[ x = 5. \]

Type 3: \(a(\log_m x)^2 + b \log_m x + c = 0\)#

Strategi for likninger på formen \(a(\log_m x)^2 + b \log_m x + c = 0\)

  1. Gjør et variabelskifte \(u = \log_m x\).

  2. Skriv om likningen til en andregradslikning på formen \(au^2 + bu + c = 0\).

  3. Løs andregradslikningen for \(u\).

  4. Bruk at \(u = \log_m x \iff x = m^u\) til å finne \(x\).

Eksempel 5

Løs likningen

\[ (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6 = 0 \]

Løsning

Vi setter \(u = \ln x\). Da kan vi skrive om likningen slik:

\[ (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6 = 0 \]
\[ u^2 - 5u + 6 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen til å løse andregradslikningen for \(u\):

\[ u = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \]
\[ u = 3 \or u = 2 \]

Nå bruker vi at \(u = \ln x \iff x = e^u\) til å finne \(x\):

\[ \ln x = 3 \or \ln x = 2 \]
\[ x = e^3 \or x = e^2 \]

Eksponentiallikninger#

Type 1: \(a^{f(x)} = k\)#

Strategi for likninger på formen \(a^{f(x)} = k\)

  1. Bruk en valgfri logaritme på hver side av likningen – velg gjerne den naturlige logaritmen \(\ln (x)\)

  2. Løs likningen for \(x\).

Eksempel 6

Løs likningen

\[ 2^x = 7 \]

Løsning

Vi bruker den naturlige logaritmen på hver side av likningen:

\[ \ln(2^x) = \ln(7) \]
\[ x \cdot \ln(2) = \ln(7) \]
\[ x = \dfrac{\ln(7)}{\ln(2)} \]

Type 2: \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\)#

Strategi for likninger på formen \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\)

  1. Bruk en valgfri logaritme på hver side av likningen – velg gjerne den naturlige logaritmen \(\ln (x)\)

  2. Løs likningen for \(x\).

Eksempel 7

Løs likningen

\[ 3 \cdot 5^x = 7 \cdot 2^x \]

Løsning

Vi bruker den naturlige logaritmen på hver side av likningen:

\[ \ln (3 \cdot 5^x) = \ln (7 \cdot 2^x) \]
\[ \ln 3 + \ln (5^x) = \ln 7 + \ln (2^x) \]
\[ \ln 3 + x \ln 5 = \ln 7 + x \ln 2 \]
\[ x \ln 5 - x \ln 2 = \ln 7 - \ln 3 \]
\[ x (\ln 5 - \ln 2) = \ln 7 - \ln 3 \]
\[ x \cdot \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) = \ln \left(\dfrac{7}{3}\right) \]
\[ x = \dfrac{\ln \left(\dfrac{7}{3}\right)}{\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)} \]

Eventuelt kan vi skrive svaret som

\[ x = \dfrac{\ln 7 - \ln 3}{\ln 5 - \ln 2} \]

Spiller ingen rolle hvilket av de to svarene vi velger.

Type 3: \(a \cdot (k^x)^2 + b \cdot k^x + c = 0\)#

Strategi for likninger på formen \(a \cdot (k^x)^2 + b \cdot k^x + c = 0\)

  1. Sett \(u = k^x\).

  2. Skriv om likningen til en andregradslikning på formen \(au^2 + bu + c = 0\).

  3. Løs andregradslikningen for \(u\).

  4. Bruk at \(u = k^x \iff x = \log_k u\) til å finne \(x\).

Eksempel 8

Løs likningen

\[ 10^{2x} - 5 \cdot 10^x + 6 = 0 \]

Løsning

Vi setter \(u = 10^x\). Da kan vi skrive om likningen slik:

\[ u^2 - 5u + 6 = 0 \]

Så bruker vi \(abc\)-formelen til å løse andregradslikningen for \(u\):

\[ u = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \]
\[ u = 3 \or u = 2 \]

Nå bruker vi at \(u = 10^x \iff x = \lg u\) til å finne \(x\):

\[ 10^x = 3 \or 10^x = 2 \]
\[ x = \lg 3 \or x = \lg 2 \]

Eksempel 9

Løs likningen

\[ e^x - 2 = 8e^{-x} \]

Løsning

Vi må skrive om likningen slik at det blir en andregradslikning i \(e^x\). Vi ganger begge sider av likningen med \(e^x\):

\[ e^x \cdot e^x - 2 \cdot e^x = 8e^{-x} \cdot e^x \]
\[ e^{2x} - 2e^x = 8 \]
\[ e^{2x} - 2e^x - 8 = 0 \]

Så gjør vi et variabelskifte \(u = e^x\) som gir likningen

\[ u^2 - 2u - 8 = 0 \]

Nå bruker vi \(abc\)-formelen til å løse andregradslikningen for \(u\):

\[ u = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ u = \dfrac{2 \pm 6}{2} \]
\[ u = 4 \or u = -2 \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ e^x = 4 \or e^x = -2 \]

Likningen \(e^x = -2\) har ingen løsningen siden vi ikke kan opphøye \(e\) med noe som gir oss et negativt tall. Dermed er det bare \(e^x = 4\) som gir en løsning:

\[ e^x = 4 \]
\[ \ln e^x = \ln 4 \]
\[ x \cdot \ln e = \ln 4 \]
\[ x = \ln 4 \]

der vi har brukt at \(\ln e = 1\).

Generell strategi: Produktregelen#

Strategi: \(f(x) \cdot g(x) = 0\)

Bruk produktregelen for likninger. Hvis \(a \cdot b = 0\), så er enten \(a = 0\) eller \(b = 0\). Dermed er

\[ f(x) \cdot g(x) = 0 \liff f(x) = 0 \or g(x) = 0. \]

Løs hver av de to likningene for seg.

Eksempel 10

Løs likningen

\[ \lg (x - 2) \cdot (\lg x - 2) = 0 \]

Løsning

Vi bruker produktregelen for likninger:

\[ \lg (x - 2) \cdot (\lg x - 2) = 0 \]
\[ \lg (x - 2) = 0 \or \lg (x) - 2 = 0 \]
\[ \lg (x - 2) = 0 \or \lg (x) = 2 \]
\[ x - 2 = 10^0 \or x = 10^2 \]
\[ x - 2 = 1 \or x = 100 \]
\[ x = 3 \or x = 100 \]

Eksempel 11

Løs likningen

\[ (e^x - 3)(e^x + 4) = 0 \]

Løsning

Vi bruker produktregelen for likninger:

\[ (e^x - 3)(e^x + 4) = 0 \]
\[ e^x - 3 = 0 \or e^x + 4 = 0 \]
\[ e^x = 3 \or e^x = -4 \]

Likningen \(e^x = -4\) har ingen løsning siden vi ikke kan opphøye \(e\) med noe som gir oss et negativt tall. Dermed er det bare \(e^x = 3\) som gir en løsning:

\[ e^x = 3 \]
\[ \ln e^x = \ln 3 \]
\[ x \cdot \ln e = \ln 3 \]
\[ x = \ln 3 \]

der vi har brukt at \(\ln e = 1\).

Innhold