# Eksamen vår 2025 > Eksamen våren 2025 var todelt med 2 timer på del 1 og 3 timer på del 2. Våren 2026 vil eksamen være todelt med 3 timer på del 1 og 2 timer på del 2. ## Del 1 (Uten hjelpemidler – 2 timer) :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (2 poeng) Deriver funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = e^{-2x} + \dfrac{1}{5}x^5 - 2\pi $$ ::::{answer} $$ f'(x) = -2e^{-2x} + x^4 $$ :::: ::::{solution} $$ \begin{align*} f'(x) &= \left(e^{-2x} + \dfrac{1}{5}x^5 - 2\pi\right)' \\ \\ &= (e^{-2x})' + \left(\dfrac{1}{5}x^5\right)' - (2\pi)' \\ \\ &= -2e^{-2x} + x^4 - 0 \\ \\ &= -2e^{-2x} + x^4 \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (5 poeng) Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x - 1)^2. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$. ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi løser likningen $g(x) = 0$: $$ g(x) = 0 \liff \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x - 1)^2 = 0 $$ som gir $$ 2x - 1 = 0 \liff x = \dfrac{1}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Vis at $$ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x (2x - 1)(2x + 3). $$ ::::{solution} Vi bruker produktregelen for derivasjon: $$ \begin{align*} g'(x) &= \left(\dfrac{1}{2}e^x\right)' \cdot (2x - 1)^2 + \dfrac{1}{2}e^x \cdot \left((2x - 1)^2\right)' \\ \\ &= \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x - 1)^2 + \dfrac{1}{2}e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot (2) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}e^x (2x - 1)^2 + 2e^x (2x - 1) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}e^x (2x - 1)(2x - 1 + 4) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}e^x (2x - 1)(2x + 3). \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$. ::::{solution} Vi løser først likningen $g'(x) = 0$: $$ g'(x) = 0 \liff \dfrac{1}{2}e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0 $$ som gir $$ 2x - 1 = 0 \or 2x + 3 = 0 \liff x = \dfrac{1}{2} \or x = -\dfrac{3}{2}. $$ Den første løsningen er et nullpunkt, så koordinatene til det ene stasjonære punktet er bare $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$. Så setter vi inn disse $x$-verdien til det andre stasjonære punktet i funksjonen $g$ for å finne de tilhørende $y$-verdiene: $$ g\left(-\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}e^{-3/2} \cdot \left(2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1\right)^2 = \dfrac{1}{2}e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \dfrac{8}{e^{3/2}} $$ Vi tegner en fortegnslinje for $g'(x)$ for å avgjøre om det stasjonære punktet $\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{8}{e^{3/2}}\right)$ er et topp- eller bunnpunkt: :::{signchart-2} width: 80% function: exp(x)*(2*x - 1) * (2*x + 3), g'(x) ::: Grafen til $g$ stiger før og synker etter $x = -\dfrac{3}{2}$ så dette svarer til et toppunkt. Grafen til $g$ synker før og stiger etter $x = \dfrac{1}{2}$ så dette svarer til et bunnpunkt. Dermed er koordinatene til toppunktet $\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{8}{e^{3/2}}\right)$ og koordinatene til bunnpunktet $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (4 poeng) Løs likningene ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ 3^{x + 2} - 5 = 76 $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::{solution} $$ 3^{x + 2} - 5 = 76 \liff 3^{x + 2} = 81 $$ $$ 3^{x + 2} = 3^4 \liff x + 2 = 4 \liff x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 2. $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{10} $$ :::: ::::{solution} For forenkler venstresiden med logaritmereglene: $$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = -2 \lg x $$ Altså har vi at $$ -2\lg x = 2 \liff \lg x = -1 \liff x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (4 poeng) Bestem grenseverdiene ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ \lim\limits_{x\to 3} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} $$ ::::{answer} $$ \lim\limits_{x\to 3} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} = \pm \infty $$ :::: ::::{solution} Vi prøver å sette inn $x = 3$ direkte i uttrykket for å finne grenseverdien: $$ \lim\limits_{x\to 3} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= \dfrac{3\cdot (3^2 - 3)}{3 - 3} = \pm \infty $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ \lim\limits_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 2} $$ ::::{answer} $$ \lim\limits_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 2} = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{solution} Vi får et $0/0$-uttrykk når vi setter inn $x = 4$, så vi bruker L'Hôpitals regel for å finne grenseverdien: $$ \lim\limits_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 2} = \lim\limits_{x\to 4} \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \dfrac{1}{4}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (2 poeng) Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, && x \lt 0 \\ \\ 2e^{x}, && x \geq 0 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. ::::{answer} $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. :::: ::::{solution} La $g(x) = x^2 + 2$ og $h(x) = 2e^x$. For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 0$, må $$ g(0) = h(0) $$ Vi finner først $g(0)$: $$ g(0) = 0^2 + 2 = 2. $$ Så finner vi $h(0)$: $$ h(0) = 2e^0 = 2. $$ Siden $g(0) = h(0)$, så er $f$ kontinuerlig i $x = 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$. ::::{answer} $f$ er ikke deriverbar i $x = 0$. :::: ::::{solution} Vi lar $g(x) = x^2 + 2$ og $h(x) = 2e^x$. For at $f$ skal være deriverbar i $x = 0$, må $$ h'(0) = g'(0). $$ Vi finner først $g'(0)$: $$ g'(x) = 2x \liff g'(0) = 0. $$ Så finner vi $h'(0)$: $$ h'(x) = 2e^x \liff h'(0) = 2. $$ Siden $h'(0) \neq g'(0)$, så er ikke $f$ deriverbar i $x = 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 (6 poeng) Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsytem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J(0, 0)$, Nils befinner seg i punktet $N(-1, 2)$ og Ahmad befinner seg i punktet $A(1, 1)$. Enheten langs aksene er meter. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? ::::{answer} $$ \sqrt{5} $$ :::: ::::{solution} Vektoren som peker fra Nils til Ahmad er $$ \lvec{NA} = [1 - (-1), 1 - 2] = [2, -1]. $$ Avstanden mellom Nils og Ahmad er da $$ \abs{\lvec{NA}} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En basketball ligger i punktet $(-1, a)$ der $a \in \real$. Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad. Bestem $a$. ::::{answer} $$ a = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{solution} Vektoren fra Nils til Ahmad fant vi i forrige oppgave og var gitt ved $$ \lvec{NA} = [2, -1]. $$ La vektoren fra Jelena til ballen være $\lvec{JB}$. Da har vi at $$ \lvec{JB} = \lvec{OB} - \lvec{OJ} = [-1, a] - [0, 0] = [-1, a]. $$ Samtidig skal $\lvec{JB} \parallel \lvec{NA}$, så det må finnes en skalar $k$ slik at $$ \lvec{JB} = k \cdot \lvec{NA} \liff [-1, a] = k \cdot [2, -1] \liff [-1, a] = [2k, -k]. $$ Vektorlikningen krever at begge likninger er oppfylt samtidig slik at: $$ -1 = 2k \and a = -k $$ Den første likningen gir $$ k = -\dfrac{1}{2} $$ Det betyr at $$ a = -k = -\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Nils flytter seg til et punkt $M$. $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $\angle MAJ$, er $90$ grader. Bestem koordinatene til $M$. ::::{answer} $$ M(-1, 3) $$ :::: ::::{solution} :::{plot} width: 100% align: right let: Jx = 0 let: Jy = 0 let: Nx = -1 let: Ny = 2 let: Ax = 1 let: Ay = 1 let: Mx = -1 let: My = 3 let: Mx2 = 3 let: My2 = -1 triangle: points=((Jx, Jy), (Ax, Ay), (Mx, My)), angles=(B), corner-labels=none, angle-radius=30 triangle: points=((Jx, Jy), (Ax, Ay), (Mx2, My2)), angles=(B), corner-labels=none, angle-radius=30 axis: equal ticks: off point: (Jx, Jy) point: (Nx, Ny) point: (Ax, Ay) point: (Mx, My) point: (Mx2, My2) text: Jx, Jy, "$J$", bottom-left text: Nx, Ny, "$N$", bottom-left text: Ax, Ay, "$A$", top-right text: Mx, My, "$M$", top-right text: Mx2, My2, "$M'$", bottom-right fontsize: 26 ::: Vi lager oss en hjelpefigur av situasjonen: Vi skal finne det punktet $M$ som oppfyller at 1. $\abs{\lvec{JM}} = \sqrt{10}$ 2. $\angle MAJ = 90^\circ$ 3. $M$ ligger nærmest mulig $N$. Vi kan merke oss at vi kan skrive $\lvec{JM}$ som $$ \lvec{JM} = \lvec{JA} + \lvec{AM}. $$ Siden $\angle MAJ = 90\degree$, så vil $$ \lvec{AM} = k \cdot \lvec{JA}_\perp $$ der $\lvec{JA}_\perp$ er en tverrvektor til $\lvec{JA}$ og $k$ er en skalar. Vi starter med å finne $\lvec{JA}$: $$ \lvec{JA} = [1 - 0, 1 - 0] = [1, 1]. $$ Vi vet også hvilken lengde $\lvec{JM}$ skal ha. Fra dette kan vi finne lengden til $\lvec{AM}$: $$ \abs{\lvec{JM}} = \abs{\lvec{JA}}^2 + \abs{\lvec{AM}}^2 $$ $$ (\sqrt{10})^2 = 2 + 2|k|^2 $$ der vi har brukt at $\abs{\lvec{JA}}^2 = \abs{\lvec{JA}_\perp}^2 = 2$. Da følger det at $$ 8 = 2|k|^2 \liff |k|^2 = 4 \liff |k| = 2. $$ Med andre ord får vi to mulige løsninger for $M$: $$ \lvec{OM}_1 = \lvec{JA} + 2 \cdot \lvec{JA}_\perp = [1, 1] + 2 \cdot [-1, 1] = [-1, 3] $$ eller $$ \lvec{OM}_2 = \lvec{JA} - 2 \cdot \lvec{JA}_\perp = [1, 1] - 2 \cdot [-1, 1] = [3, -1]. $$ Det punktet som ligger nærmest $N$ er $M(-1, 3)$, så derfor er dette det punktet Nils flytter seg til. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ## Del 2 (Med hjelpemidler – 3 timer) :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (6 poeng) Teknologiselskaper PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved $$ S(t) = \dfrac{2~500~000}{1 + 2500\cdot e^{-0.08t}} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen? ::::{answer} Ca. 103 uker. :::: ::::{solution} Det er $3~000~000$ husstander til sammen, så for å avgjøre hvor lang tid det før halvparten har batteriet, løser vi $S(t) = 1~500~00$ med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/1/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 65% --- ::: Vi ser at etter ca $103$ uker vil halvparten av husstandene i byen ha batteriet. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $S'(52)$. Gi en praktisk tolkning av svaret. ::::{solution} $S'(52)$ vil gi oss omtrent hvor mange nye husstander som får batteriet iløpet av uke 52. Vi kan finne $S'(52)$ ved å bruke CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/1/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 65% --- ::: Altså er det ca. 4873 nye husstander som får batteriet i uke 52, ifølge modellen. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c > Denne oppgaven er ikke relevant for halvdagsprøven. *Skip it*. Det viser at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat. Etter å ha hørt planene til BA3 antar PowBat at * de totalt vil få solgt batteriet til 1,5 millioner husstander * 500 husstander har batteriet når det lanseres * flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60 Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker. ::::{answer} $$ F(t) = \dfrac{1~500~000}{1 + 2999\exp\left(-\frac{\ln(2999)}{60}t\right)}. $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å sette opp en logistisk modell på formen $$ F(t) = \dfrac{a}{1 + be^{-ct}} $$ Vi vet at det maksimalt blir vil være $1~500~000$ husstander, så dette blir bareevnen $a$ i modellen. Altså har vi at $$ F(t) = \dfrac{1~500~000}{1 + be^{-ct}}. $$ Videre vet vi at $F(0) = 500$ siden det er $500$ husstander som har batteriet når det lanseres. Da får vi at $$ F(0) = 500 \liff \dfrac{1~500~000}{1 + b} = 500 \liff 1 + b = \dfrac{1~500~000}{500} = 3000 \liff b = 2999. $$ I tillegg skal flest husstander kjøpe batteriet i uke $60$, som tilsvarer at $$ F(60) = \dfrac{1}{2}} F(\infty) = \dfrac{1}{2} \cdot 1~500~000 = 750~000. $$ Da får vi at $$ \dfrac{1~500~000}{1 + 2999e^{-60c}} = 750~000 $$ $$ 1~500~000 = 750~000 + 2999 \cdot 750~000 \cdot e^{-60c} $$ $$ 750~000 = 2999 \cdot 750~000 \cdot e^{-60c} $$ $$ \dfrac{1}{2999} = e^{-60c} \liff -60c $$ $$ c = \dfrac{\ln(2999)}{60}. $$ Altså er den nye modellen for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker gitt ved $$ F(t) = \dfrac{1~500~000}{1 + 2999\exp\left(-\frac{\ln(2999)}{60}t\right)}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (6 poeng) Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1 $$ og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \real$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$. ::::{answer} $$ I = [0, 4]. $$ :::: ::::{solution} For at $f$ skal ha en omvendt funksjon på intervallet $I$, kan ikke funksjonen ha et ekstremalpunkt på innsiden av intervallet. Vi leter ett eventuelle ekstremalpunkter først: $$ f'(x) = x^2 - 4x = x(x - 4). $$ som betyr at $$ f'(x) = 0 \liff x = 0 \or x = 4. $$ Vi tegner et fortegnsskjema for $f'(x)$ for å avgjøre om punktene faktisk er ekstremalpunkter: :::{signchart-2} width: 80% function: x**2 - 4*x, f'(x) ::: Vi ser at begge punkter er ekstremalpunkter siden $f'(x)$ skifter fortegn rundt punktene. Setter vi $I = [0, 4]$ så vil ingen ekstremalpunkter ligge på innsiden av intervallet, og vi sikrer at $2 \in I$. Dermed er det største intervallet $I$ slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$, gitt ved $$ I = [0, 4]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$. ::::{answer} Stigningstallet til tangenten er $-\dfrac{1}{3}$ :::: ::::{solution} Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$ som betyr at punktet $(3, -10)$ ligger på grafen til $f$. Stigningstallet til tangenten til grafen til $f$ vil da være $f'(3)$, og stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ er $$ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)}. $$ Vi har at $$ f'(x) = x^2 - 4x \liff f'(3) = 3^2 - 4\cdot 3 = -3. $$ Altså er $$ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}. $$ Altså er stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ gitt ved $-\dfrac{1}{3}$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstallet som tangenten i punktet $(-10, 3)$. Bestem koordinatene til tangeringspunktet. ::::{answer} $$ \left(-\dfrac{8}{3}, 1\right). $$ :::: ::::{solution} Vi løser $f'(x) = -3$ for å finne det andre tangeringspunktet $(a, b)$ på grafen til $f$. Da vil koordinatene til tangeringspunktet på grafen til $g$ være $(b, a)$. $$ f'(x) = -3 \liff x^2 - 4x = -3 \liff x^2 - 4x + 3 = 0 \liff (x - 1)(x - 3) = 0 \liff x = 1 \or x = 3. $$ Altså vil det andre tangeringspunktet på grafen til $f$ være $(1, f(1))$. Vi finner $f(1)$: $$ f(1) = \dfrac{1}{3} - 2 - 1 = -\dfrac{8}{3}. $$ Dermed er koordinatene til det andre tangeringspunktet på grafen til $g$ gitt $$ \left(-\dfrac{8}{3}, 1\right). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (3 poeng) Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun søkt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der. $$ f(x) = \begin{cases} -9x - 15, && x \leq -2 \\ \\ g(x), && -2 \lt x \lt 1 \\ \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}, && x \geq 1 \end{cases} $$ Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \real$. Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom. Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$. ::::{answer} Det midterste uttrykket må være $$ g(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} $$ :::: ::::{solution} Funksjonen $f$ er bygget opp av polynomer i hver forskrift, og disse er kontinuerlige overalt. Vi lar $$ p(x) = -9x - 15 \qog q(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} $$ For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$, så må $$ p(-2) = g(-2) \and p'(-2) = g'(-2) $$ For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = 1$, så må $$ q(1) = g(1) \and q'(1) = g'(1) $$ Dette gir oss fire likninger og fire ukjente siden $g(x)$ er et tredjegradspolynom. Vi løser likningene med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/3/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Vi ser altså at $f$ er kontinuerlig og deriverbar overalt dersom vi setter det midterste uttrykket lik $$ g(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (8 poeng) Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved $$ \vec{r}(t) = [-1 + 5t, 4 + 8t]. $$ Enheten langs aksene er kilometer. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Farten til en båt måles vanligvis i knop, der $1$ knop er $1852$ meter per time. Bestem farten til fiskebåten i knop. ::::{answer} $$ \sqrt{89}~\mathrm{km/h} = \dfrac{\sqrt{89}}{1.852}~\mathrm{knop} \approx 5.1~\mathrm{knop}. $$ :::: ::::{solution} Farten til båten er gitt ved $$ v = \abs{\vec{r}'(t)} = \abs{[5, 8]} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89}. $$ Denne farten er i kilometer per time. For å konvertere til knop, kan vi gjøre følgende utregning: $$ 1~\mathrm{knop} = 1852~\mathrm{m/h} = 1.852~\mathrm{km/h} \liff 1~\mathrm{km/h} = \dfrac{1}{1.852}~\mathrm{knop}. $$ Dermed har vi at $$ \sqrt{89}~\mathrm{km/h} = \dfrac{\sqrt{89}}{1.852}~\mathrm{knop} $$ Vi kan finne en tilnærmet verdi for dette med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Altså er farten til båten ca. $5.1$ knop. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$. Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret. ::::{answer} $$ h = \dfrac{55}{\sqrt{89}} = \dfrac{55 \sqrt{89}}{89} $$ :::: ::::{solution} Båten beveger seg langs en rett linje. En retningsvektor for linja vil være fartsvektoren $$ \vec{v} = \vec{r}'(t) = [5, 8] $$ Den minste avstanden fra fyret til båten vil være den korteste avstanden fra punktet $P(4, 7)$ til linja. Vi trenger også et punkt på linja. Vi lar dette punktet være $$ \lvec{OQ} = \vec{r}(0) = [-1, 4]. $$ Da vil den korteste avstanden $h$ være $$ h = \dfrac{\abs{\lvec PQ\cdot \vec{v}_\perp}}{\abs{\vec{v}}} $$ Vi har at $$ \lvec{PQ} = \lvec{OQ} - \lvec{OP} = [-1, 4] - [4, 7] = [-5, -3] $$ og at en tverrvektor til $\vec{v}$ er $$ \vec{v}_\perp = [-8, 5]. $$ Da får vi at $$ \lvec{PQ} \cdot \vec{v}_\perp = [-5, -3] \cdot [-8, 5] = 55 $$ Dermed blir den korteste avstanden $$ h = \dfrac{55}{\sqrt{89}} = \dfrac{55 \sqrt{89}}{89} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En fiskestim er i punktet $(1, -3)$ ved tiden $t = 0$, og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v} = [4, 11]$. Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ::::{answer} Fiskebåten treffer ikke fiskestimen fordi de er i skjæringspunktet mellom kurvene sine på forskjellige tidspunkter. :::: ::::{solution} La $\vec{r}_f(t)$ være posisjonen til fiskestimen etter $t$ timer. Posisjonsvektoren vil da være gitt ved $$ \vec{r}_f(t) = \vec{r}_f(0) + \vec{v} \cdot t = [1, -3] + [4, 11] \cdot t = [1 + 4t, -3 + 11t]. $$ For å undersøke om de treffer hverandre, løser vi likningen $$ \vec{r}_f(s) = \vec{r}(t) $$ Dette gjør vi med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Vi får forskjellig verdi for $s$ og $t$ som betyr at de er der på forskjellige tidspunkter. Fiskestimen er der akkurat litt senere enn fiskebåten. Dermed vil ikke fiskebåten treffe fiskestimen. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En annen fiskebåt er i punktet $(-2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$. Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen. ::::{answer} $$ \abs{\vec{v}} = 3\sqrt{13}~\mathrm{km/h}. $$ :::: ::::{solution} La først $\vec{r}_2(t)$ være posisjonen dersom fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og kjører med fartsvektoren $\vec{v} = [6, 4]$. Da kan vi finne koordinatene til punktet der kurven til fiskestimen og kurven til denne fiskebåten skjærer hverandre ved å løse likningen $$ \vec{r}_2(s) = \vec{r}_f(t) $$ Vi gjør dette med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/d1.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Altså vil fiskestimen være i skjæringspunktet $\left(\dfrac{17}{5}, \dfrac{18}{5}\right)$ etter $t = \dfrac{3}{5}$ timer. Fiskemåten må være der samtidig. La $\vec{v} = [a, b]$ være fartsvektoren til fiskebåten. Da må vi kreve at $$ \left[\dfrac{17}{5}, \dfrac{18}{5}\right] = [-2, 0] + [a, b] \cdot \dfrac{3}{5} $$ Vi løser likningen med CAS: :::{figure} ./figurer/del_2/4/d2.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Altså må fartsvektoren være $\vec{v} = [9, 6] = 3[3, 2]$ som gir farten $$ \abs{\vec{v}} = 3\sqrt{3^2 + 2^2} = 3\sqrt{13}. $$ Altså må fiskebåten holde en fart på $3\sqrt{13}~\mathrm{km/h}$ for å treffe fiskestimen. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (4 poeng) Grafen til en funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \ln x$ er vist i figuren nedenfor. Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A(0, 0)$. Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $\angle ACB = 90\degree$. :::{plot} width: 55% xmin: -1 ymin: -1 xmax: 4.5 ymax: 3.5 figsize: (5, 4) let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = exp(1) let: By = 1 let: Cx = (exp(1) + 1) / 2 let: Cy = (exp(1) + 1) / 2 triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy)), angles=(C), corner-labels=none, angle-radius=40, color=black function: log(x + 1e-6), (0, 6), f, blue point: (0, 0) text: 0, 0, "$A$", top-left point: (exp(1), 1) text: exp(1), 1, "$B$", top-right tangent: exp(1), f, solid, red point: ((exp(1) + 1) / 2, (exp(1) + 1) / 2) text: (exp(1) + 1) / 2, (exp(1) + 1) / 2, "$C$", top-left line: 1, 0, dashed, gray ticks: off ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$. ::::{answer} $$ B(e, 1) $$ :::: ::::{solution} Punktet $B$ ligger på en linje som er en tangent til grafen i et punkt $(x, f(x))$. Gitt punktet $x$, så vil stigningstallet til tangenten være gitt ved den deriverte av $f$ i punktet $x$: $$ f(x) = \ln x \limplies f'(x) = \dfrac{1}{x} $$ Siden punktet $A(0, 0)$ også ligger på tangenten og er i origo, vil $\lvec{AB}$ beskrive posisjonsvektoren til punktet $B$. Dette punktet vil ha koordinatene $(x, f(x)) = (x, \ln x)$. Dermed er $$ \lvec{AB} = [x, \ln x] $$ Når vi øker $x$ med én enhet, vil $y$-verdien øke med stigningstallet til tangenten, altså $\frac{1}{x}$. Dermed kan vi uttrykke retningsvektoren til tangenten som $$ \vec{v} = \left[1, \dfrac{1}{x}\right] $$ Punktene på tangenten kan derfor beskrives som $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t = [0, 0] + \left[1, \dfrac{1}{x}\right] \cdot t = \left[t, \dfrac{t}{x}\right] $$ Vi må bestemme $t$ og $x$ slik at $\vec{r}(t) = \lvec{AB}$. Altså må vi løse likningen $$ \left[t, \dfrac{t}{x}\right] = [x, \ln x] $$ Dette gir oss to likninger: $$ t = x \and \dfrac{t}{x} = \ln x $$ Den første likningen forteller oss bare at $t = x$, så vi kan sette dette inn i den andre likningen som gir: $$ \dfrac{x}{x} = \ln x \limplies 1 = \ln x $$ Altså må $x = e$. Dermed er koordinatene til punktet $B$ gitt ved $$ B(x, \ln x) = B(e, 1) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem det eksakte arealet av $\triangle ABC$. ::::{answer} $$ T = \dfrac{e^2 - 1}{4} $$ :::: ::::{solution} For å bestemme arealet av $\triangle ABC$, må vi kjenne til to vektorer som spenner ut trekanten. Vi vet allerede at $\lvec{AB} = [e, 1]$. Vi trenger derfor bare én vektor til for én av sidene i trekanten. Vi kan finne $\lvec{AC}$ ved å regne ut projeksjonen av $\lvec{AB}$ ned på linja $y = x$ som har retningsvektor $\vec{v} = [1, 1]$. Da får vi $$ \lvec{AC} = \dfrac{\lvec{AB} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} $$ Vi regner ut skalarproduktet i telleren først: $$ \lvec{AB} \cdot \vec{v} = [e, 1] \cdot [1, 1] = e + 1 $$ Så regner vi ut nevneren: $$ \abs{\vec{v}}^2 = 1^2 + 1^2 = 2 $$ Dermed får vi $$ \lvec{AC} = \dfrac{e + 1}{2} \cdot [1, 1] $$ Arealet av $\triangle ABC$ er da gitt ved formelen $$ T = \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp} $$ der $\lvec{AC}_\perp$ er en tverrvektor til $\lvec{AC}$. En tverrvektor til $\lvec{AC}$ får vi vet å bytte plass på koordinatene og endre fortegn på én av dem: $$ \lvec{AC}_\perp = \dfrac{e + 1}{2} \cdot [-1, 1] $$ Nå kan vi regne ut skalarproduktet: $$ \begin{align*} \lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp &= [e, 1] \cdot \left(\dfrac{e + 1}{2} \cdot [-1, 1]\right) \\ \\ &= \dfrac{e + 1}{2} \cdot ( -e + 1) = \dfrac{-(e^2 - 1)}{2} \\ \\ &= \dfrac{1 - e^2}{2} \end{align*} $$ Altså er arealet av trekanten gitt ved $$ \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \abs{\dfrac{1 - e^2}{2}} \\ \\ &= \dfrac{e^2 - 1}{4} \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::