# Repetisjon: *New Game+* :::::::::::::::{exercise} Jeopardy 1: Logaritme- og eksponentialfunksjoner ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Regneregler points: 100 --- Regn ut $$ 4\ln \dfrac{1}{\sqrt{e}} + \lg 1000 - \log_2 16 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ -3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Regneregler points: 200 --- Sorter tallene i stigende rekkefølge. $$ \ln \dfrac{1}{e} \quad \log_2 8 \quad \ln \sqrt{e} \quad e^{-\ln 9} \quad \lg \dfrac{1}{100} \quad \lg 10~000 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \lg \dfrac{1}{100} \lt \ln \dfrac{1}{e} \lt e^{-\ln 9} \lt \ln \sqrt{e} \lt \log_2 8 \lt \lg 10~000 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Regneregler points: 300 --- Bestem $a$ slik at $$ \lg \dfrac{1}{x^4} + 2 \lg x^3 - 8\lg \sqrt{x} = a \lg x $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = -2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Regneregler points: 500 --- :::{plot} width: 100% align: right function: log(x) / log(4), (0, 20), f, blue xmin: 0 xmax: 20 xstep: 2 ymin: -2 ymax: 3 ystep: 1 fontsize: 25 ::: I figuren vises grafen til $f(x) = \log_a x$. Bestem $a$. :::{clear} ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 4 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Logaritmelikninger points: 100 --- Løs likningen $$ \lg (x-1) + \lg (x+1) = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = \sqrt{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Logaritmelikninger points: 200 --- Løs likningen $$ \lg \dfrac{1}{x^4} + 2 \lg x^3 = 4 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 100 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Logaritmelikninger points: 300 --- Løs likningen $$ (\ln x)^2 - 3 \ln x + 2 = 0 $$ ::::{jeopardy-answer} $$ x = e \quad \lor \quad x = e^2 $$ :::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Logaritmelikninger points: 500 --- Bestem $a$ slik at $$ (\log_a 4)^2 + 2 \log_a 2 - 2 = 0 \,, \quad a \in \mathbb{N}. $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 4 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Eksponentiallikninger points: 100 --- Løs likningen $$ 3^{x - 2} + 5 = 8 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Eksponentiallikninger points: 200 --- Løs likningen $$ e^{2x} - e^x = 6 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = \ln 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Eksponentiallikninger points: 300 --- Løs likningen $$ 4^x - 7 \cdot 2^x + 12 = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 2 \quad \lor \quad x = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} = \log_2 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Eksponentiallikninger points: 500 --- Løs likningen $$ 3^x - 8 \cdot 3^{-x} = 2 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = \dfrac{\ln 4}{\ln 3} = \log_3 4 $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Jeopardy 2: Grenser ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Grenseverdier points: 100 --- Bestem grenseverdien $$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Grenseverdier points: 200 --- Bestem grenseverdien $$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 4}{4x^2 + 1} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 4}{4x^2 + 1} = \dfrac{1}{4} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Grenseverdier points: 300 --- Bestem grenseverdien $$ \lim_{x \to 0} \dfrac{6\ln (x + 1)}{e^{3x} - 1} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \lim_{x \to 0} \dfrac{6\ln (x + 1)}{e^{3x} - 1} = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kontinuitet points: 100 --- Bestem $a$ og $b$ slik at funksjonen $f$ nedenfor er kontinuerlig i $x = 1$. $$ f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x \lt 1 \\ \\ x^2 - 3, & x \geq 1 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = -4 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kontinuitet points: 200 --- Bestem $a$ og $b$ slik at funksjonen $f$ nedenfor er kontinuerlig i $x = -2$. $$ f(x) = \begin{cases} 2ax + 5, & x \lt -2 \\ \\ 6, & x = -2 \\ \\ bx^2 + 3, & x \gt -2 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = -\dfrac{1}{4} \quad \land \quad b = \dfrac{3}{4} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kontinuitet points: 300 --- Bestem $a$ slik at funksjonen $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{ax} - 1}{2x}, & x \neq 0 \\ \\ 4, & x = 0 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 8 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Deriverbarhet points: 100 --- Bestem $a$ slik at funksjonen $f$ er kontinuerlig og deriverbar i $x = 1$. $$ f(x) = \begin{cases} ax + 2, & x \lt 1 \\ \\ bx^2 + 3, & x \geq 1 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 2 \quad \land \quad b = 1 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Deriverbarhet points: 200 --- Bestem $a$ og $b$ slik at $f$ er deriverbar i $x = 0$. $$ f(x) = \begin{cases} e^{2x}, & x \leq 0 \\ \\ ax + b, & x > 0 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 2 \quad \land \quad b = 1 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Deriverbarhet points: 300 --- Bestem $a$ og $b$ slik at funksjonen $f$ er kontinuerlig og deriverbar i $x = 2$. $$ f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx, & x \lt 2 \\ \\ x^3 - 4x, & x \geq 2 \end{cases} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 4 \quad \land \quad b = -8 $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Jeopardy 3: Derivasjon ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Grunnleggende regler points: 100 --- Deriver funksjonen $$ f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 6 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = 12x^3 - 10x $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Grunnleggende regler points: 200 --- Deriver funksjonen $$ g(x) = 5e^x - 2\ln 3x + \pi $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ g'(x) = 5e^x - \dfrac{2}{x} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Grunnleggende regler points: 300 --- Deriver funksjonen $$ h(x) = 3e^{-4x} + 6 \sqrt{x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ h'(x) = -12 e^{-4x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Produktregelen points: 100 --- Deriver funksjonen $$ f(x) = x^2 e^{-3x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = (2x - 3x^2)e^{-3x} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Produktregelen points: 200 --- Deriver funksjonen $$ g(x) = e^{-x} \ln x $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ g'(x) = \dfrac{\left(1 - x \ln x\right)e^{-x}}{x} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Produktregelen points: 300 --- Deriver funksjonen $$ h(x) = \sqrt{x} \ln (2x) $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ h'(x) = \dfrac{\ln (2x) + 2}{2\sqrt{x}} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Brøkregelen points: 100 --- Deriver funksjonen $$ f(x) = \dfrac{e^x}{x^2} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = \dfrac{(x - 2)e^x}{x^3} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Brøkregelen points: 200 --- Deriver funksjonen $$ g(x) = \dfrac{\ln x}{x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ g'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Brøkregelen points: 300 --- Deriver funksjonen $$ h(x) = \dfrac{e^{-x}}{x^2 + 1} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ h'(x) = \dfrac{-e^{-x}(x^2 + 1) - 2x e^{-x}}{(x^2 + 1)^2} = -\dfrac{(x + 1)^2 e^{-x}}{(x^2 + 1)^2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kjerneregelen points: 100 --- Deriver funksjonen $$ f(x) = e^{3x^2} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = 6x e^{3x^2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kjerneregelen points: 200 --- Deriver funksjonen $$ g(x) = \ln (5x^3 + 2) $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ g'(x) = \dfrac{15x^2}{5x^3 + 2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Kjerneregelen points: 300 --- Deriver funksjonen $$ h(x) = \sqrt{x^2 + 4} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ h'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Blanda points: 100 --- Deriver funksjonen $$ f(x) = x\sqrt{\ln x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = \dfrac{2\ln x + 1}{2\sqrt{\ln x}} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Blanda points: 200 --- Deriver funksjonen $$ g(x) = \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ g'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1)}{2\sqrt{x}} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Blanda points: 300 --- Deriver funksjonen $$ h(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ h'(x) = \dfrac{x e^{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}} $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Jeopardy 4: Funksjonsdrøfting ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Tangenter points: 100 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4. $$
Bestem likningen til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$. ::::::{jeopardy-answer} $$ y = -4x + 5 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Tangenter points: 200 --- I figuren nedenfor vises grafen til den deriverte til en funksjon $f$. :::{plot} width: 50% function: (x - 1)**2 - 4, f' fontsize: 25 ::: Bestem likningen til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(2, 3)$. ::::::{jeopardy-answer} $$ y = -3x + 9 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Tangenter points: 300 --- I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $$ f(x) = -x^2 + 16, \quad x \in [-4, 4]. $$
Linja gjennom $(2, f(2))$ er en tangent til grafen til $f$. Bestem arealet av $\triangle OAB$. :::{plot} width: 50% function: -x**2 + 16, (-4, 4), f, blue tangent: 2, f, solid, red point: (2, f(2)) text: 2, f(2), "$\left(2, f(2)\right)$", top-right point: (0, 20) text: 0, 20, "$B$", center-left point: (5, 0) text: 5, 0, "$A$", top-right point: (0, 0) text: 0, 0, "$O$", bottom-left xmin: -6 xmax: 6 ymin: -0.5 ymax: 24 ticks: off fontsize: 26 ::: ::::::{jeopardy-answer} Arealet er $50$. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunkter points: 100 --- Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen til $$ f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1 $$ ::::::{jeopardy-answer} * Toppunkt i $(1, 6)$ * Bunnpunkt i $(2, 5)$. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunkter points: 200 --- Bestem koordinatene til toppunktet til grafen til $$ g(x) = x e^{-2x} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}e^{-1}\right) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunkter points: 300 --- Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen til $$ h(x) = 2x e^{-x^2 + 1} $$ ::::::{jeopardy-answer} * Toppunkt i $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2e}\right)$ * Bunnpunkt i $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{2e}\right)$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vendepunkter points: 100 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3 (x - 1)^3 + 2. $$
Bestem koordinatene til vendepunktet til grafen til $f$. ::::::{jeopardy-answer} $$ (1, 2) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vendepunkter points: 200 --- Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^3 - 3x^2 + 4. $$
Bestem likningen til vendetangenten til $g$. ::::::{jeopardy-answer} $$ y = -3x + 5. $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vendepunkter points: 300 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et virus bryter ut på en skole og prosentandelen smittede elever etter $t$ dager er gitt ved funksjonen $$ S(t) = \dfrac{100}{1 + 20e^{-0.33 \cdot t}} $$
Bestem på hvilken dag *flest* elever blir smittet. Hvor mange prosent av elevene smittes den dagen? ::::::{jeopardy-answer} På dag 9 smittes flest elever. Den dagen smittes ca. $8.25~\%$ av elevene. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Omvendte funksjoner points: 100 --- Nedenfor vises to funksjoner. Hvilke av funksjonene har en omvendt funksjon? ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} function: 0.25 * (x + 1)**2 - 4, [-1, 4), f, blue function-endpoints: true ticks: off ::: :::{plot} function: 0.5 * (x + 2)**2 * (x - 1), [-4, 2), g, blue function-endpoints: true ymin: -12 ymax: 12 xmin: -5 xmax: 4 ticks: off ::: :::: ::::::{jeopardy-answer} Funksjonen $f$ har en omvendt funksjon fordi den er strengt voksende. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Omvendte funksjoner points: 200 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 6x^2 + 5. $$
Bestem det største mulige intervallet $I = [a, b]$ der $f$ har en omvendt funksjon. ::::::{jeopardy-answer} $$ I = [-4, 0] $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Omvendte funksjoner points: 300 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{2}{3}(x - 1)^3 + 1. $$
La $g = f^{-1}$ være den omvendte funksjonen til $f$. Det finnes to punkter på grafen til $g$ der tangentene har stigningstall $\dfrac{1}{2}$. Bestem koordinatene til de to punktene. ::::::{jeopardy-answer} $$ \left(\dfrac{1}{3}, 0\right) \quad \mathrm{og} \quad \left(\dfrac{5}{3}, 2\right) $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Jeopardy 5: Vektorregning ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorer points: 100 --- Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde. $$ \vec{a} = [2, -1], \quad \vec{b} = [-3, 4], \quad \vec{c} = [1, 5] $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ |\vec{a}| < |\vec{b}| < |\vec{c}| $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorer points: 200 --- En trekant $\triangle ABC$ har hjørnene $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ og $C(2, 6)$. Bestem omkretsen til trekanten. ::::::{jeopardy-answer} $$ \sqrt{10} + \sqrt{13} + \sqrt{17} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorer points: 300 --- I figuren nedenfor vises et parallellogram $ABCD$. Bestem koordinatene til punktene $B$, $C$ og $D$. :::{plot} width: 50% let: Ax = -2 let: Ay = 1 let: ux = 3 let: uy = 1 let: Bx = Ax + ux let: By = Ay + uy let: bx = -2 let: by = 2 let: Cx = Bx + bx let: Cy = By + by let: Dx = Ax + bx let: Dy = Ay + by point: (Ax, Ay) point: (Bx, By) point: (Cx, Cy) point: (Dx, Dy) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), dashed, gray line-segment: (Ax, Ay), (Dx, Dy), dashed, gray line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), dashed, gray line-segment: (Dx, Dy), (Cx, Cy), dashed, gray vector: (Ax, Ay), (Dx, Dy), blue text: 0.5 * (Ax + Dx), 0.5 * (Ay + Dy), "$\vec{u} = [-2, 2]$", bottom-left vector: (Dx, Dy), (Cx, Cy), red text: 0.5 * (Dx + Cx), 0.5 * (Dy + Cy), "$\vec{v} = [3, 1]$", top-left text: Ax, Ay, "$A({Ax}, {Ay})$", bottom-left text: Bx + 0.2, By, "$B$", center-right text: Cx, Cy + 0.2, "$C$", top-right text: Dx - 0.2, Dy, "$D$", center-left axis: equal ticks: off ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ B(1, 2) \quad D(-4, 3) \quad C(-1, 4) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorer points: 500 --- Bestem $t$ slik at vektorene nedenfor er parallelle. $$ \vec{a} = [2, -1] \quad \mathrm{og} \quad \vec{b} = [t, 8] $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ t = -16 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Skalarprodukt points: 100 --- To vektorer er gitt ved $\vec{a} = [2, -1]$ og $\vec{b} = [-3, 4]$. Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$. ::::::{jeopardy-answer} $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -10 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Skalarprodukt points: 200 --- Om to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ får du vite at * $|\vec{a}| = 4$ * $|\vec{b}| = 3$ * Vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30\degree$. Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$. ::::::{jeopardy-answer} $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \sqrt{3} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Skalarprodukt points: 300 --- En trekant $\triangle ABC$ har hjørnene $A(5, 2)$, $B(-4, 8)$ og $C(-2, 3)$. Avgjør hvilket hjørne som har en vinkel som er større enn $90\degree$. ::::::{jeopardy-answer} Hjørne $C$. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Skalarprodukt points: 500 --- Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ har følgende egenskaper: * $|\vec{a}| = 4$ * $|\vec{b}| = 5$ * $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ En annen vektor $\vec{p}$ er gitt ved $$ \vec{p} = \vec{a} + t \cdot \vec{b} \quad \mathrm{der} \quad t \in \mathbb{R}. $$ Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{a}$ er ortogonale. ::::::{jeopardy-answer} $$ t = -\dfrac{8}{5} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Geometri points: 100 --- Bestem de to mulige tverrvektorene til $$ \vec{a} = [2, -1] $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ \vec{a}_\perp = [1, 2] \quad \mathrm{eller} \quad \vec{a}_\perp = [-1, -2] $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Geometri points: 200 --- En linje har likningen $y = 2x + 3$. Bestem den korteste avstanden fra punktet $P(4, 1)$ til linja. ::::::{jeopardy-answer} $$ 2 \sqrt{5} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Geometri points: 300 --- En trekant $\triangle ABC$ har hjørnene $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ og $C(2, t)$. Bestem $t$ slik at arealet av trekanten er $7$. ::::::{jeopardy-answer} $$ t = -\dfrac{7}{3} \quad \lor \quad t = 7 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Geometri points: 500 --- En sirkel med radius $2$ er vist i figuren nedenfor. Punktene $A\left(3 + \sqrt{3}, 4\right)$ og $B\left(3 - \sqrt{3}, 2\right)$ ligger på sirkelen og danner grunnlinja til en trekant $\triangle ABP$. Grunnlinja $AB$ er et linjestykke som går gjennom sentrum $S(3, 3)$ av sirkelen. Punktet $P$ kan ligge hvor som helst på sirkelen. Bestem koordinatene til punktet $P$ slik at $\triangle ABP$ har størst mulig areal. :::{plot} width: 50% fontsize: 25 let: Sx = 3 let: Sy = 3 point: (Sx, Sy) text: Sx, Sy, "$S({Sx}, {Sy})$", bottom-left circle: (Sx, Sy), 2, solid, black let: v = -30 * pi / 180 let: Ax = Sx + 2 * cos(v) let: Ay = Sy + 2 * sin(v) let: Bx = Sx - 2 * cos(v) let: By = Sy - 2 * sin(v) point: (Ax, Ay) text: Ax, Ay, "$A$", bottom-right point: (Bx, By) text: Bx, By, "$B$", top-left let: Px = Sx + 0 let: Py = Sy + 2 point: (Px, Py) text: Px, Py, "$P$", top-right axis: equal triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Px, Py)), angles=none, corner-labels=none grid: off ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ S\left(4, 3 + \sqrt{3}\right) \quad \mathrm{eller} \quad S\left(2, 3 - \sqrt{3}\right) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorfunksjoner points: 100 --- Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved $$ \vec{r}(t) = [4 + 2t, 3 - 5t]. $$ Bestem farten til partikkelen. ::::::{jeopardy-answer} $$ v = \sqrt{29} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorfunksjoner points: 200 --- En fugl befinner seg i punktet $(3, 2)$ og flyr med fartsvektoren $\vec{v} = [4, -10]$. Alle avstander er målt i meter og tiden er målt i sekunder. Bestem posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$ til fuglen etter $t$ sekunder. ::::::{jeopardy-answer} $$ \vec{r}(t) = [3 + 4t, 2 - 10t] $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorfunksjoner points: 300 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Posisjonen til to båter $A$ og $B$ er etter $t$ sekunder gitt ved $$ \vec{r}_A(t) = [2t, 5 - 3t] \quad \mathrm{og} \quad \vec{r}_B(t) = [-2 + 5t, t]. $$
Avgjør om båtene kolliderer med hverandre. ::::::{jeopardy-answer} Nei, de kolliderer ikke fordi de er i skjæringspunktet til kurvene på forskjellige tidspunkter. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vektorfunksjoner points: 500 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et fly befinner seg i punktet $(-14, 5)$ ved $t = 0$ og skal fly til punktet $(16, 25)$. Alle avstander er målt i kilometer og tiden er målt i minutter. Bestem farten flyet må ha for å komme fram på $10$ minutter. ::::::{jeopardy-answer} $$ \sqrt{13}~\mathrm{km/min} \approx 3.61~\mathrm{km/min} $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Escape room: Bossrush ::::::::{escape-room-2} :::::::{room} --- code: 144 --- Koden til neste rom er gitt ved produktet nedenfor $$\lg (100) \cdot \ln \left(\dfrac{1}{e^2}\right) \cdot \log_2 (8) \cdot \lg \left(\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right) \cdot \ln \left(e^4\right) \cdot \log_3 (27)$$ ::::::: :::::::{room} --- code: 25 --- Koden til neste rom er summen $$e^{2x_1} + e^{2x_2}$$ der $x_1$ og $x_2$ løser likningen $$e^{2x} - 7e^x + 12 = 0$$ ::::::: :::::::{room} --- code: 865430 --- Koden til neste rom er verdiene nedenfor plassert i synkende rekkefølge: $$\begin{align*} & \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x}-1}{x} \quad\quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x} \quad\quad \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+2x)^3 - 1}{x} \\ \\ & \lim_{x \to \infty} \dfrac{40x^2 + 3}{5x^2 - x} \quad\quad \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 2}{4x^3 + x} \quad\quad \lim_{x \to \infty} \dfrac{10x^4 + x}{2x^4 - 5} \end{align*}$$ ::::::: :::::::{room} --- code: 243 --- En grenseverdi er gitt ved $$ \lim_{x \to a} \dfrac{\ln(ax - 8)}{x - a} $$
Koden til neste rom er $a^5$ der $a$ er den verdien som gjør at grenseverdien eksisterer. ::::::: :::::::{room} --- code: 1024 --- Koden til neste rom er summen av $k^{10}$ for alle $k$ som gjør funksjonen nedenfor kontinuerlig: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - k^3}{x - k} \quad \text{for} \quad x \lt k \\ \\ 6x \quad \text{for} \quad x \geq k \end{cases}$$ ::::::: :::::::{room} --- code: 125 --- Koden til neste rom er gitt ved $$\left(\ln (x_1) + \ln (x_2)\right)^3$$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene til funksjonen $$f(x) = (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6$$ ::::::: :::::::{room} --- code: 162 --- En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = e^{2x}$.

En tangent til grafen til $f$ er gitt ved $$y = a(x - \ln 3) + b$$ der $a$ og $b$ er konstanter.

Koden til neste rom er $a \cdot b$. ::::::: :::::::{room} --- code: 512 --- En linje $\ell$ har likningen $$y = x - 2$$

La $d$ være den korteste avstanden fra punktet $P(5, -1)$ til linja. Koden til neste rom er $d^6$. ::::::: :::::::{room} --- code: 64 --- La $P$ og $Q$ være ekstremalpunktene til funksjonen $$ f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1 $$
Koden til nesten rom er gitt ved $|\overrightarrow{PQ}|^{12}$. ::::::: :::::::{room} --- code: 20 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et fly befinner seg i punktet $(2, 5)$ når $t = 0$. Alle avstander er målt i kilometer og tiden er målt i minutter. La $\vec{v}$ være fartsvektoren til flyet slik at det kommer fram til punktet $(12, 25)$ på $5$ minutter. Koden til neste rom er $|\vec{v}|^2$. ::::::: :::::::: :::::::::::::::